Mong đợi của

10

Đặt , , , và độc lập. Kỳ vọng của gì? $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Rất dễ tìm thấy bằng cách đối xứng. Nhưng tôi không biết làm thế nào để tìm thấy kỳ vọng của . Bạn có thể vui lòng cung cấp một số gợi ý? $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Những gì tôi đã thu được cho đến nay

Tôi muốn tìm bằng cách đối xứng. Nhưng trường hợp này khác với trường hợp của vì có thể không bằng . Vì vậy, tôi cần một số ý tưởng khác để tìm thấy sự mong đợi. $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$

Câu hỏi này đến từ đâu

Một câu hỏi trong trao đổi ngăn xếp toán học yêu cầu phương sai của cho một vectơ ngẫu nhiên thống nhất đơn vị trên . hàm của tôi cho thấy câu trả lời phụ thuộc rất nhiều vào các giá trị của và cho . Vì và bằng cách đối xứng, chúng ta chỉ cần biết giá trị của $\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ để đạt được những kỳ vọng khác.

— Michael Hardy
nguồn

7

Phân phối của $X_i^2$ là chi bình phương (và cũng là trường hợp đặc biệt của gamma).

Phân phối của là bản beta. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

Kỳ vọng về bình phương của một phiên bản beta không khó.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

5

Câu trả lời này mở rộng câu trả lời của @ Glen_b.

Sự thật 1: Nếu , , , là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tiêu chuẩn độc lập, thì tổng bình phương của chúng có phân phối chi bình phương với bậc tự do. Nói cách khác, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Do đó, và . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Sự thật 2: Nếu và , thì $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Do đó, . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Sự thật 3: Nếu , thì và $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Do đó, và

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Cuối cùng,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— người dùng603
nguồn

1

@ NP-hard: Có vẻ như bạn thực sự đã hỏi câu hỏi này để có thể trả lời câu hỏi này ? Tại sao không chỉ đề cập đến điều đó?

— joriki

@joriki Cảm ơn. Tôi sẽ thêm liên kết đến câu hỏi.