Mối tương quan giữa sin và cos

Giả sử được phân bố đồng đều trên . Hãy và . Cho thấy mối tương quan giữa và bằng không. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Có vẻ như tôi sẽ cần phải biết độ lệch chuẩn của sin và cosin, và hiệp phương sai của chúng. Làm thế nào tôi có thể tính toán những điều này?

Tôi nghĩ rằng tôi cần giả sử có phân phối đồng đều và xem xét các biến được chuyển đổi và . Sau đó, luật của nhà thống kê vô thức sẽ cho giá trị mong đợi $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

và

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(mật độ không đổi vì nó là phân phối đồng đều, và do đó có thể được chuyển ra khỏi tích phân).

Tuy nhiên, những tích phân này không được xác định (nhưng tôi nghĩ các giá trị chính của Cauchy bằng 0).

Làm thế nào tôi có thể giải quyết vấn đề này? Tôi nghĩ rằng tôi biết giải pháp (tương quan bằng không vì sin và cos có hai pha ngược nhau) nhưng tôi không thể tìm ra cách lấy được nó.

— Anh
nguồn

Như đã nêu, vấn đề của bạn là không đủ xác định. Tương quan là một khái niệm áp dụng cho các biến ngẫu nhiên, không phải chức năng. (Chính thức, một biến ngẫu nhiên là một loại hàm, cụ thể là hàm đo được từ không gian xác suất đến số thực được trang bị thước đo Borel. Nhưng chỉ nói "hàm sin" không cho bạn biết bất cứ điều gì về thước đo xác suất trong tên miền, đó là thứ giúp bạn có được thông tin xác suất, bao gồm cả các bản phân phối chung.)

— Kodiologist 16/07/2016

X

$X$

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

Có lẽ tôi có thể lấy làm hỗ trợ (tôi sẽ giả sử rằng , vì vậy khoảng thời gian chứa một chu kỳ đầy đủ). Tôi đoán các vấn đề tích hợp sau đó cũng sẽ biến mất

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Nếu bạn làm điều đó, thì bạn chỉ cần vẽ một biểu đồ phân tán - không cần tích hợp. Scatterplot đó là một phân phối đồng đều trên vòng tròn đơn vị (rõ ràng). Vì vòng tròn đối xứng dưới bất kỳ sự phản chiếu nào thông qua gốc tọa độ, nên mối tương quan bằng với âm của nó, do đó nó phải bằng 0, QED .

— whuber

Câu trả lời:

Từ

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

tương quan cũng phải là 0.

— Nhà quang học học
nguồn

Tôi thực sự thích lập luận của @ whuber từ tính đối xứng và không muốn nó bị mất như một nhận xét, vì vậy đây là một chút công phu.

Hãy xem xét vectơ ngẫu nhiên , trong đó và , cho . Sau đó, vì tham số hóa vòng tròn đơn vị theo chiều dài cung, được phân phối đồng đều trên vòng tròn đơn vị. Cụ thể, phân phối của giống như phân phối của . Nhưng sau đó $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

vì vậy nó phải là . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Chỉ là một lập luận hình học đẹp.

— Matthew Drury
nguồn