Xác suất các điểm ngẫu nhiên đồng đều trong một hình chữ nhật có khoảng cách Euclide nhỏ hơn một ngưỡng nhất định

Giả sử chúng ta có điểm trong một hình chữ nhật có ràng buộc và những điểm này được phân bố đồng đều trong mặt phẳng này. (Tôi không hoàn toàn quen thuộc với số liệu thống kê, vì vậy tôi không biết sự khác biệt giữa việc chọn một nút trong khu vực hoặc chọn -axis thống nhất từ và -axis từ một cách độc lập).$n$$[0,a] \times [0,b]$$[0,a] \times [0,b]$$x$$[0,a]$$y$$[0,b]$

Đưa ra một ngưỡng khoảng cách , tôi có thể muốn biết xác suất rằng khoảng cách Euclide của hai điểm nhỏ hơn , hay chính xác hơn là khoảng cách bao nhiêu cặp nút sẽ nhỏ hơn ?$d$$d$$d$

---

Có thể mô tả sau đây sẽ rõ ràng.

Hãy để tôi chỉ định vấn đề này. Cho nút và ngưỡng . Các điểm này được phân bố đồng đều trong một hình chữ nhật . Suy ra một biến ngẫu nhiên là số cặp điểm trong khoảng cách . Tìm .$n$$d$$n$$[0,a] \times [0,b]$$\xi$$d$$E[\xi]$

Chúng ta có thể giải quyết vấn đề này một cách phân tích bằng cách sử dụng một số trực giác và đối số hình học . Thật không may, câu trả lời khá dài và hơi lộn xộn.

Thiết lập cơ bản

Đầu tiên, hãy đặt ra một số ký hiệu. Giả sử chúng ta vẽ các điểm đồng đều ngẫu nhiên từ hình chữ nhật . Chúng tôi giả sử mà không mất tính tổng quát mà . Đặt là tọa độ của điểm đầu tiên và là tọa độ của điểm thứ hai. Sau đó, , , và độc lập lẫn nhau với phân phối đồng đều trên và phân phối đồng đều trên .0 < b < a ( X $[0,a] \times [0,b]$$0 < b < a$( X 2 , Y 2 ) X 1 X 2 Y 1 Y 2 X i [ 0 , a ] Y i [ 0 , b $(X_1,Y_1)$$(X_2,Y_2)$$X_1$$X_2$$Y_1$$Y_2$$X_i$$[0,a]$$Y_i$$[0,b]$

Hãy xem xét khoảng cách Euclide giữa hai điểm. Đây là trong đóvà.Z 1 = | X 1 - X 2 | Z 2 = | Y 1 - Y 2

$$D = \sqrt{(X_1-X_2)^2 + (Y_1-Y_2)^2} =: \sqrt{ Z_1^2 + Z_2^2} \> ,$$ $Z_1 = |X_1-X_2|$$Z_2 = |Y_1-Y_2|$

Phân phối tam giác

Vì và là đồng phục độc lập, nên có phân phối hình tam giác, từ đócó phân phối với hàm mật độ Hàm phân phối tương ứng là với giá . Tương tự,có mật độ và hàm phân phối .X 2 X 1 - X 2 Z 1 = | X 1 - X 2 | f a ( z 1 ) = $X_1$$X_2$$X_1 - X_2$$Z_1 = |X_1 - X_2|$F a ( z 1 ) = 1 - ( 1 -

$$f_a(z_1) = \frac{2}{a^2}(a-z_1) ,\quad 0 < z_1 < a \> .$$ 0 ≤ z 1 ≤ một Z 2 = | Y 1 - Y 2 | f b ( z 2 ) F b ( z 2$F_a(z_1) = 1 - (1-z_1/a)^2$$0 \leq z_1 \leq a$$Z_2 = |Y_1 - Y_2|$$f_b(z_2)$$F_b(z_2)$

Lưu ý rằng vì là một chức năng của hai và là một chức năng của , và là độc lập. Vì vậy, khoảng cách giữa các điểm là chỉ tiêu euclide của hai biến ngẫu nhiên độc lập (với các phân phối khác nhau).X i Z 2 Y i Z 1 Z $Z_1$$X_i$$Z_2$$Y_i$$Z_1$$Z_2$

Bảng bên trái của hình hiển thị phân phối và bảng bên phải hiển thịtrong đó trong ví dụ này.Z 1 = | X 1 - X 2 | a = $X_1 - X_2$$Z_1 = |X_1 - X_2|$$a = 5$

Một số xác suất hình học

Vì vậy, và là độc lập và được hỗ trợ trên và tương ứng. Đối với cố định , hàm phân phối của khoảng cách euclide là Z 2 [ 0 , a ] [ 0 , b ] $Z_1$$Z_2$$[0,a]$$[0,b]$$d$

$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\newcommand{\rd}{\,\mathrm{d}} \Pr(D \leq d) = \iint_{\{z_1^2+z_2^2 \leq d^2\}} f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2 \> .$$

Chúng ta có thể nghĩ về điều này về mặt hình học như có một phân phối trên hình chữ nhật và xem xét một phần tư bán kính . Chúng tôi muốn biết xác suất nằm trong giao điểm của hai khu vực này. Có ba khả năng khác nhau để xem xét:$[0,a] \times [0,b]$$d$

Vùng 1 (màu cam): . Ở đây vòng tròn quý nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật.$0 \leq d < b$

Vùng 2 (màu đỏ): . Ở đây đường tròn quý giao với đường thẳng dọc theo các cạnh trên và dưới.$b \leq d \leq a$

Vùng 3 (màu xanh): . Vòng tròn quý giao với hình chữ nhật dọc theo cạnh trên và bên phải.$a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

Đây là một hình, trong đó chúng ta vẽ một bán kính ví dụ của mỗi trong ba loại. Hình chữ nhật được xác định bởi , . Bản đồ nhiệt thang độ xám trong hình chữ nhật cho thấy mật độ trong đó các vùng tối có mật độ cao hơn và các vùng sáng hơn có mật độ nhỏ hơn. Nhấp vào hình sẽ mở ra một phiên bản lớn hơn của nó.b = 4 f a ( z 1 ) f b ( z 2$a = 5$$b = 4$$f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2$

Một số tính toán xấu xí

Để tính toán xác suất, chúng ta cần thực hiện một số tính toán. Chúng ta hãy lần lượt xem xét từng khu vực và chúng ta sẽ thấy rằng một tích phân chung sẽ xuất hiện. Tích phân này có dạng đóng, mặc dù nó không đẹp lắm.

Vùng 1 : .$0 \leq d < b$

$$\newcommand{\radius}{\sqrt{d^2 - y^2}} \Pr(D \leq d) = \int_0^d \int_0^{\radius} f_b(y) f_a(x) \rd x \rd y = \int_0^d f_b(y) \int_0^{\radius} f_a(x) \rd x \rd y \>.$$

Bây giờ, tích phân bên trong mang lại . Vì vậy, chúng ta còn lại để tính tích phân có dạng trong trường hợp này là lãi . Tính đối kháng của integrand là $\frac{1}{a^2}\radius (2 a - \radius)$

$$G(c) - G(0) = \int_0^c (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \> ,$$ $c = d$ $$\begin{align*} G(y) &= \int (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \\ &= \frac{a}{3} \radius ( y (3 b - 2 y) + 2 d^2) \\ &\quad + \,a b d^2 \tan^{-1}\Big(\frac{y}{{\scriptstyle \radius}}\Big) - b d^2 y \\ &\quad + \,\frac{b y^3}{3} + \frac{(d y)^2}{2} - \frac{y^4}{4} \> . \end{align*}$$

Từ đó, chúng ta có được .$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(d) - G(0))$

Vùng 2 : .$b \leq d \leq a$

$$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(0)) \>,$$ với lý do tương tự như đối với Vùng 1, ngoại trừ bây giờ chúng ta phải tích hợp dọc theo -axis đến tận thay vì chỉ .$y$$b$$d$

Vùng 3 : . $a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

$$\begin{align*} \Pr(D \leq d) &= \int_0^\sqrt{d^2-a^2} f_b(y)\rd y + \int_{\sqrt{d^2-a^2}}^b f_b(y) \int_{0}^\radius f_a(x) \rd x \rd y \\ &= F_b(\sqrt{d^2-a^2}) + \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(\sqrt{d^2-a^2})) \end{align*}$$

Dưới đây là mô phỏng 20000 điểm trong đó chúng tôi vẽ sơ đồ phân bố theo kinh nghiệm là các điểm màu xám và phân phối lý thuyết dưới dạng một đường thẳng, được tô màu theo khu vực cụ thể được áp dụng.

Từ cùng một mô phỏng, bên dưới chúng tôi vẽ 100 cặp điểm đầu tiên và vẽ các đường thẳng giữa chúng. Mỗi điểm được tô màu theo khoảng cách giữa cặp điểm và khu vực khoảng cách này rơi vào.

Số lượng cặp điểm dự kiến ​​trong khoảng cách chỉ đơn giản là theo độ tuyến tính của kỳ vọng.E$d$

$$\mathbb E[\xi] = {n \choose 2} \Pr(D \leq d) \>,$$

Nếu các điểm được phân phối thực sự đồng đều, tức là trong một mẫu đã biết cố định, thì với bất kỳ khoảng cách d nào, bạn có thể chỉ cần lặp qua tất cả các cặp và đếm các điểm trong khoảng cách. Xác suất của bạn là (số đó / n).

Nếu bạn có thêm tự do để chọn cách n điểm được phân phối / chọn, thì đây là phiên bản hình chữ nhật của nghịch lý Bertrand . Trang đó hiển thị một số cách trả lời câu hỏi này dựa trên cách bạn phân phối điểm của mình.