Định lý giới hạn trung tâm so với luật số lượng lớn

14

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng giá trị trung bình của các biến iid, khi đi đến vô cùng, sẽ trở nên phân phối bình thường. $N$

Điều này đặt ra hai câu hỏi:

Chúng ta có thể suy luận từ điều này luật số lượng lớn? Nếu định luật về số lượng lớn nói rằng giá trị trung bình của một mẫu của các giá trị của biến ngẫu nhiên bằng với giá trị trung bình thực sự $\mu$ khi $N$ đi đến vô cùng, thì có vẻ mạnh hơn khi nói rằng (như giới hạn trung tâm nói) rằng giá trị trở thành $\mathcal N(\mu, \sigma)$ trong đó $\sigma$ là độ lệch chuẩn. Có công bằng không khi nói rằng giới hạn trung tâm bao hàm luật số lượng lớn?
Định lý giới hạn trung tâm có áp dụng cho tổ hợp tuyến tính của các biến không?

probability central-limit-theorem law-of-large-numbers

— người dùng9097
nguồn

5

Khẳng định của bạn rằng "định lý giới hạn trung tâm nói rằng giá trị trung bình của các biến iid, khi

N

$N$ đi đến vô cùng, trở nên phân phối bình thường" là không chính xác. Xem câu trả lời của tôi cho câu hỏi gần đây này đặt ra vấn đề tương tự. Một câu trả lời khác cho câu hỏi đó đã được đăng nhưng đã bị xóa ngay sau đó, và cuộc thảo luận sau câu trả lời đó, bây giờ cũng biến mất, thảo luận về những vấn đề này.

— Dilip Sarwate

1

Tại sao hội tụ trung bình mẫu cho nhân dân có nghĩa là

μ

$\mu$ một kết quả yếu hơn so với các tụ trung bình mẫu để một mẫu từ một

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu, \sigma)$ phân phối?

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Cảm ơn cờ, nhưng nhận xét của bạn là IMO đủ cho thấy những quan niệm sai lầm trong câu hỏi và câu trả lời hợp lý đã xuất hiện.

10

OP nói

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng giá trị trung bình của các biến iid, khi N đi đến vô cùng, sẽ trở nên phân phối bình thường.

Tôi sẽ thực hiện việc này có nghĩa rằng đó là niềm tin của OP mà cho các biến ngẫu nhiên iid với trung bình và độ lệch chuẩn , hàm phân phối tích lũy của $X_i$ $\mu$ $\sigma$ $F_{Z_n}(a)$ hội tụ đến hàm phân phối tích lũy của, một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bìnhvà độ lệch chuẩn. Hoặc, OP tin nhỏ tái sắp xếp của công thức này, ví dụ như sự phân bố củahội tụ đến sự phân bố của, hoặc sự phân bố của

Z_{n} = = \frac{1}{n} Σ_{Tôi = = 1}^{n} X_{Tôi}

$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu,\sigma)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Z_{n} - μ

$Z_n - \mu$

N (0, σ)

$\mathcal N(0,\sigma)$

(Z_{n} - μ) / σ

$(Z_n - \mu)/\sigma$ hội tụ đến phân phối

, biến ngẫu nhiên chuẩn thông thường. Lưu ý là một ví dụ cho thấy các tuyên bố này ngụ ý rằng

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

như

.

P {| Z_{n} - μ | > σ} = = 1 - F_{Z_{n}} (μ + σ) + F_{Z_{n}} ((μ + σ)^{-}) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0,32

$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$

n \to \infty

$n \to \infty$

OP tiếp tục nói

Điều này đặt ra hai câu hỏi:

Chúng ta có thể suy luận từ điều này luật số lượng lớn? Nếu định luật về số lượng lớn nói rằng giá trị trung bình của một mẫu của các giá trị của biến ngẫu nhiên bằng với giá trị trung bình thực μ khi N đi đến vô cùng, thì có vẻ mạnh hơn khi nói rằng (như giới hạn trung tâm nói) rằng giá trị trở thành N ( μ,) trong đó σ là độ lệch chuẩn.

Luật yếu số lượng lớn nói rằng đối với biến ngẫu nhiên iid với trung bình hữu hạn , đưa ra bất kỳ , Lưu ý rằng không cần thiết phải giả định rằng độ lệch chuẩn là hữu hạn. $X_i$ $\mu$ $\epsilon > 0$

P {| Z_{n} - μ | > ε} \to 0 như n \to \infty .

$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$

Vì vậy, để trả lời câu hỏi của OP,

Định lý giới hạn trung tâm như OP đã nêu không bao hàm định luật yếu về số lượng lớn. Như , phiên bản của OP của giới hạn trung tâm lý nói rằng trong khi pháp luật yếu nói rằng $n \to \infty$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$
Từ một phát biểu đúng của định lý giới hạn trung tâm, tốt nhất người ta chỉ có thể suy ra một dạng hạn chế của định luật yếu về số lượng lớn áp dụng cho các biến ngẫu nhiên với giá trị trung bình hữu hạn và độ lệch chuẩn. Nhưng định luật yếu về số lượng lớn cũng áp dụng cho các biến ngẫu nhiên như biến ngẫu nhiên Pareto với phương tiện hữu hạn nhưng độ lệch chuẩn vô hạn.
Tôi không hiểu tại sao nói rằng trung bình mẫu hội tụ đến một biến ngẫu nhiên bình thường với độ lệch chuẩn khác không là một tuyên bố mạnh mẽ hơn so với việc nói rằng trung bình mẫu hội tụ với trung bình dân số, là một hằng số (hoặc một biến ngẫu nhiên có độ lệch chuẩn bằng 0 bạn thích).

— Dilip Sarwate
nguồn

Tôi tự hỏi những gì người đánh giá thấp câu trả lời của tôi thấy phản cảm hoặc không chính xác trong những gì tôi nói.

— Dilip Sarwate

7

$\bar X_n$ $n$ $\bar X_n$ $\bar X_{n+1}$ , Nói. Vì vậy, không, sự hội tụ trong phân phối không bao hàm định luật về số lượng lớn, trừ khi bạn có một không gian xác suất chung cho tất cả các biến.

— StasK
nguồn

(+1) Những gì bạn nói là đúng và là một điểm rất quan trọng. Mảng tam giác cho phép các biến trong mỗi "hàng" sống trên các không gian xác suất khác nhau so với các hàng trước đó. Mặt khác, nếu chúng ta nói một tiên nghiệm rằng chúng ta đang xem xét một chuỗi các biến ngẫu nhiên, thì, chúng phải tồn tại trên một không gian cơ bản chung để khái niệm độc lập có ý nghĩa.

— Đức hồng y

@cardinal: vậy nếu tôi hiểu chính xác, trong trường hợp "đơn giản" trong đó tất cả được xác định trong cùng một không gian, đó có phải là trường hợp trung tâm ngụ ý luật của số lượng lớn? hay không?

— user9097

@ user9097 Kể từ bây giờ chúng ta đang đi vào cõi của chi tiết tốt, mà pháp luật của một số lượng lớn đang được hỏi về? Luật yếu hay luật mạnh?

— Dilip Sarwate

Điểm đó chỉ đúng với luật mạnh về số lượng lớn , không đúng với luật yếu

— kjetil b halvorsen

4

$\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$ $\mathcal N(0, Var(X))$ $\bar{X}$ $n$ $X$

$X$ $Y$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (a X_{j} + Y_{j}) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$

\sqrt{n} a ({\bar{X}}_{n} - E X) + \sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - E Y) \to N (0, a^{2} V a r (X) + V a r (Y)) .

$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$

Nói cách khác, một tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên sẽ không hội tụ thành một tổ hợp tuyến tính của các quy tắc theo CLT, chỉ là một kết hợp bình thường. Điều này có ý nghĩa bởi vì sự kết hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên chỉ là một biến ngẫu nhiên khác nhau mà CLT có thể được áp dụng trực tiếp.

— Daniel Johnson
nguồn

1

{\bar{X}}_{n} = \sum_{i = 1}^{n} w_{n i} X_{i}

$\bar X_n = \sum_{i=1}^n w_{ni} X_i$

w_{n i} = 1 / n

$w_{ni} = 1/n$

i = 1, \dots, n

$i = 1,\ldots,n$ , một câu hỏi tự nhiên người ta có thể hỏi là điều gì xảy ra khi chúng ta thay thế các trọng số "thống nhất" này bằng một số trọng số khác (tùy ý hơn). Khi nào chúng ta vẫn nhận được CLT? CLT của Lindeberg có thể được sử dụng để có được câu hỏi này.

— Đức hồng y

\sum_{j = 1}^{n} w_{n j} X_{j}

$\sum^n_{j=1}w_{nj}X_j$

w_{n j} = w_{j} / n

$w_{nj} = w_{j}/n$

w_{j}

$w_j$

w_{j}

$w_{j}$

w_{j} X

$w_jX$

w

$w$

n

$n$

1

E X = 0

$\mathbb E X = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{1} = 1

$w_1 = 1$

w_{2} = 0

$w_2 = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{j} = 0

$w_j = 0$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \leq 1 / 4

$\sum_{i=1}^j w_i /j \leq 1/4$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \geq 1 / 2

$\sum_{i=1}^j w_i /j \geq 1/2$

0

$0$

1

$1$

1 / 2

$1/2$

1 / 4

$1/4$

0

$0$

1

$1$