Khi nào dòng Least Square Regression (LSQ) bằng với Least tuyệt đối độ lệch (LAD)?

Tôi có câu hỏi sau đây trong tầm tay.

Giả sử $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{10},y_{10})$ đại diện cho một tập hợp các quan sát đa biến trên $(X,Y)$ như vậy mà $x_2=x_3=\cdots =x_{10}\ne x_1.$ Trong điều kiện nào thì dòng Hồi quy Least Square sẽ $Y$ trên $X$ có giống với dòng sai lệch tuyệt đối không?

Tôi biết rằng chúng tôi muốn tìm $\hat{\alpha}$ và $\hat\beta$ như vậy mà $Y=\hat\alpha+\hat\beta X$ ; phương pháp LSQ sẽ cung cấp cho

\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) x_{i}}

$\hat\beta={\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i-\bar x)y_i\over \sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)x_i}$ và do đó

\hat{α}

$\hat\alpha$ . Ai đó có thể giúp tôi tiến hành?

— Qwerty
nguồn

Theo trực giác, có một trường hợp tầm thường và một trường hợp không tầm thường trong đó các cặp điểm ổn định một dòng có sai số bằng nhau.

— Bọ lửa

Một số gợi ý để giúp bạn có được cái nhìn sâu sắc

Tạo hoặc tạo một số dữ liệu phù hợp với các điều kiện trong câu hỏi. Thử $x_1=0, y_1=0$ và $x_2..x_{10}=1$ (chọn một số giá trị cho $y_i$ , $i=2,...,10$ ). Trường hợp các dòng đi qua liên quan đến điểm đầu tiên?
Bây giờ bắt đầu như trên nhưng hãy thử đặt $y_i$ , $i=2,...,10$ nói 1,2,3,4,5,6,7,8,9 tương ứng. Các dòng đi đâu?
Bây giờ đặt $y_i$ , $i=2,...,10$ nói 1,2,3,4,5,6,7,8,99 tương ứng. Các dòng đi đâu?

Điều gì đặc biệt / thú vị về các giá trị được trang bị cho hai dòng tại $x=1$ ?

(Nếu không rõ, hãy thử một số giá trị khác cho $y_{10}$ .)
Bạn có thể chứng minh đây là trường hợp tổng quát hơn?

Điều này cuối cùng đưa chúng ta đến một câu hỏi trực quan, liên quan đến thời điểm phương tiện và trung bình là bằng nhau trong trường hợp đơn biến. (Có một điều kiện đơn giản, rõ ràng là đủ, nhưng không cần thiết.)

Có một số bài viết trên trang web thảo luận về trường hợp khác. Có một số ví dụ thú vị ở đây

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn