Tại sao định mức ma trận mặc định là định mức phổ chứ không phải định mức Frobenius?

Đối với định mức vectơ, định mức L2 hoặc "khoảng cách Euclide" là định nghĩa được sử dụng rộng rãi và trực quan. Nhưng tại sao định nghĩa định mức "được sử dụng nhiều nhất" hoặc "mặc định" cho ma trận là định mức phổ , nhưng không phải là định mức Frobenius (tương tự như định mức L2 cho vectơ)?

Điều đó có liên quan gì đến các thuật toán lặp / công suất ma trận (nếu bán kính phổ nhỏ hơn 1, thì thuật toán sẽ hội tụ)?

1. Nó luôn luôn được tranh luận cho các từ như "được sử dụng nhiều nhất", "mặc định". Từ "mặc định" được đề cập ở trên đến từ kiểu trả về mặc định trong Matlabhàm norm. Trong Rđịnh mức mặc định cho ma trận là định mức L1. Cả hai là "không tự nhiên" với tôi (đối với một ma trận, có vẻ như nhiều hơn "tự nhiên" để làm như trong vectơ). (Cảm ơn vì ý kiến ​​của @ usεr11852 và @ whuber và xin lỗi vì sự nhầm lẫn này.)$\sqrt{\sum_{i,j}a^{2}_{i,j}}$

2. Có thể mở rộng việc sử dụng các tiêu chuẩn ma trận sẽ giúp tôi hiểu thêm?

Nói chung, tôi không chắc chắn rằng định mức phổ được sử dụng rộng rãi nhất. Ví dụ, định mức Frobenius được sử dụng để tính gần đúng giải pháp về hệ số ma trận không âm hoặc chính quy ma trận tương quan / hiệp phương sai . Tôi nghĩ rằng một phần của câu hỏi này xuất phát từ thuật ngữ sai lầm mà một số người mắc phải (bao gồm cả bản thân tôi) khi đề cập đến định mức Frobenius là chuẩn mực ma trận Euclide . Chúng ta không nên vì thực tế định mức ma trận (tức là chỉ tiêu phổ) là một quy tắc được tạo ra cho ma trận khi sử dụng định mức vectơ L 2 . Định mức Frobenius là yếu tố khôn ngoan: | | Một | $L_2$$L_2$ , trong khichỉ tiêu ma trậnL2(||$||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j}a_{i,j}^2}$$L_2$) dựa trên các giá trị số ít, do đó, nó là "đơn vị" hơn. (vì may mắn của một thuật ngữ tốt hơn?)Định mức ma trậnL2là một định mức loại Euclide vì nó được tạo ra bởi định mức vectơ Euclide, trong đó| | Một| | 2=tối đa | | x | | 2 = 1 | | Mộtx| | 2. Do đó, nó là mộtquy tắc cảm ứngcho ma trận bởi vì nó đượcgây rabởi một$||A||_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^T A)})$$L_2$$||A||_2 = \max\limits_{||x||_2 =1} || Ax||_2$định mức vectơ , định mức vectơ trong trường hợp này.$L_2$

Có lẽ MATLAB nhằm mục đích cung cấp định mức theo mặc định khi sử dụng lệnh ; như một hệ quả, nó cung cấp định mức vectơ Euclide nhưng cũng là định mức ma trận L 2 , tức là. các chuẩn mực phổ ma trận (chứ không phải là trích dẫn sai " Frobenius / tiêu chuẩn ma trận Euclide "). Cuối cùng, tôi xin lưu ý rằng định mức mặc định là vấn đề quan điểm đối với một số người mở rộng: Ví dụ: " Đại số ma trận - Lý thuyết, tính toán và ứng dụng trong thống kê " theo nghĩa đen có một chương (3.9.2) có tên: " Frobenius Norm - The Norm Usual Norm Norm$L_2$norm$L_2$"; rõ ràng là định mức phổ không phải là tiêu chuẩn mặc định cho tất cả các bên được xem xét! :) Theo nhận xét của @amoeba, các cộng đồng khác nhau có thể có các quy ước thuật ngữ khác nhau. Lin. Ứng dụng đại số trong Thống kê và tôi sẽ nhắc bạn xem xét thêm!

Một phần của câu trả lời có thể liên quan đến điện toán số.

Khi bạn giải quyết hệ thống

The answer to this depends on the field you're in. If you're a mathematician, then all norms in finite dimensions are equivalent: for any two norms $\|\cdot\|_a$ and $\|\cdot\|_b$, there exist constants $C_1,C_2$, which depend only on dimension (and a,b) such that:

This implies that norms in finite dimensions are quite boring and there is essentially no difference between them except in how they scale. This usually means that you can choose the most convenient norm for the problem you're trying to solve. Usually you want to answer questions like "is this operator or procedure bounded" or "does this numerical process converge." With boundedness, you only usually care that something is finite. With convergence, by sacrificing the rate at which you have convergence, you can opt to use a more convenient norm.

For example, in numerical linear algebra, the Frobenius norm is sometimes preferred because it's a lot easier to calculate than the euclidean norm, and also that it naturally connects with a wider class of Hilbert Schmidt operators. Also, like the Euclidean norm, it's submultiplictive: $\|AB\|_F\leq \|A\|_F\|B\|_F$, unlike say, the max norm, so it allows you to easily talk about operator multiplication in whatever space you're working in. People tend to really like both the $p=2$ norm and the Frobenius norm because they have natural relations to both the eigenvalues and singular values of matrices, along with being submultiplictive.

For practical purposes, the differences between norms become more pronounced because we live in a world of dimensions and it usually matters how big a certain quantity is, and how it's measured. Those constants $C_1,C_2$ above are not exactly tight, so it becomes important just how much more or less a certain norm $\|x\|_a$ is compared to $\|x\|_b$.