Giá trị trung bình của phân bố mũ

Cho một biến ngẫu nhiên , giá trị trung bình và phương sai của gì?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Tôi nhìn vào Phân phối Gamma nghịch đảo, nhưng giá trị trung bình và phương sai chỉ được xác định cho và tương ứng ...α > $\alpha>1$$\alpha>2$

Cho rằng phân bố hàm mũ nghịch đảo có , bạn đã vấp phải sự thật rằng giá trị trung bình của hàm mũ nghịch đảo là . Và do đó, phương sai của số mũ nghịch đảo là không xác định.$\alpha = 1$$\infty$

Nếu được phân phối theo cấp số nhân, tồn tại và là hữu hạn cho và cho .E ( G r ) r < 1 = ∞ r = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Tôi sẽ hiển thị phép tính cho giá trị trung bình của phân phối mũ để nó sẽ gọi lại cho bạn cách tiếp cận. Sau đó, tôi sẽ sử dụng hàm mũ nghịch đảo với cách tiếp cận tương tự.

Cho$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Tích hợp theo từng phần (bỏ qua trước tích phân trong thời điểm này),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Nhân với trước tích phân,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Đánh giá cho và ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Đó là một kết quả được biết đến.

Đối với , áp dụng logic tương tự.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Sự khác biệt chính là để tích hợp bởi các bộ phận,

$u = y^{-1}$

và

$du = -1y^{-2}$

vì vậy nó không giúp chúng tôi cho . Tôi nghĩ rằng tích phân là không xác định ở đây. Wolfram alpha nói với tôi rằng nó không hội tụ.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+Ex(-x)+dx

Vì vậy, giá trị trung bình không tồn tại đối với Số mũ nghịch đảo, hoặc, tương đương, đối với Gamma nghịch đảo với . Lý do tương tự cho phương sai và .α > $\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Sau khi mô phỏng nhanh (bằng R), dường như giá trị trung bình không tồn tại:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Để so sánh, đây là những gì xảy ra với một biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân chính hãng.