Tôi đã nghe nói rằng tỷ lệ hoặc nghịch đảo của các biến ngẫu nhiên thường có vấn đề, không có kỳ vọng. Tại sao vậy?

24

Tiêu đề là câu hỏi. Tôi được cho biết rằng tỷ lệ và nghịch đảo của các biến ngẫu nhiên thường có vấn đề. Điều đó có nghĩa là kỳ vọng thường không tồn tại. Có một giải thích đơn giản, chung chung về điều đó?

— kjetil b halvorsen
nguồn

24

Tôi muốn đưa ra một lời giải thích rất đơn giản, trực quan. Nó nhìn vào một bức tranh: phần còn lại của bài viết này giải thích bức tranh và rút ra kết luận từ nó.

Đây là những gì nó đi xuống đến: khi có một "khả năng hàng loạt" tập trung gần $X=0$ , sẽ có quá nhiều xác xuất gần $1/X\approx \pm \infty$ , gây sự mong đợi của nó được xác định.

Thay vì hoàn toàn chung chung, hãy tập trung vào các biến ngẫu nhiên $X$ có mật độ liên tục $f_X$ trong vùng lân cận $0$ . Giả sử $f_X(0)\ne 0$ . Trực quan, các điều kiện này có nghĩa là đồ thị của $f$ nằm trên trục xung quanh $0$ :

Tính liên tục của khoảng ngụ ý rằng đối với bất kỳ chiều cao tích cực ít hơn và đủ nhỏ , chúng tôi có thể cắt ra một hình chữ nhật bên dưới biểu đồ này mà tập trung vào , có chiều rộng , và chiều cao , như được hiển thị. Điều này tương ứng thể hiện sự phân bố ban đầu là một hỗn hợp của một phân bố đều (với trọng lượng ) và bất cứ điều gì còn sót lại. $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

Nói cách khác, chúng ta có thể nghĩ là phát sinh theo cách sau: $X$

Với xác suất , vẽ một giá trị từ một Uniform phân phối. $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
Mặt khác, vẽ một giá trị từ phân phối có mật độ tỷ lệ với . (Đây là chức năng được vẽ màu vàng ở bên phải.) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( là hàm chỉ thị.) $I$

Bước cho thấy rằng đối với bất kỳ , cơ hội đó là giữa và vượt quá . Tương đương, đây là cơ hội vượt quá . Nói cách khác: viết cho hàm sống sót $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

hình ảnh hiển thị cho tất cả . $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

Bây giờ chúng ta đã xong, vì thực tế này về ngụ ý sự kỳ vọng là không xác định. $S$ So sánh các tích phân liên quan đến tính toán kỳ vọng của phần dương của , : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(Đây là một đối số hình học thuần túy: mọi tích phân đại diện cho một khu vực hai chiều có thể nhận dạng và tất cả các bất đẳng thức phát sinh từ các vùi nghiêm ngặt trong các khu vực đó. Thật vậy, chúng ta thậm chí không cần biết tích phân cuối cùng là một logarit: có hình học đơn giản đối số hiển thị phân kỳ tích phân này.)

Vì bên phải phân kỳ là , phân kỳ. Tình huống với phần âm của là như nhau (vì hình chữ nhật có tâm ở khoảng ) và cùng một đối số cho thấy kỳ vọng của phần âm của phân kỳDo đó, kỳ vọng của là không xác định. $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

Ngẫu nhiên, cùng một lập luận cho thấy rằng khi có xác suất tập trung vào một phía của , chẳng hạn như bất kỳ phân phối lũy thừa hoặc Gamma nào (với tham số hình dạng nhỏ hơn ), thì vẫn có phân kỳ kỳ vọng dương, nhưng kỳ vọng âm là 0. Trong trường hợp này, kỳ vọng được xác định, nhưng là vô hạn. $X$ $0$ $1$

— whuber
nguồn

3

Tôi có đúng không khi nghi ngờ rằng giả định là rất quan trọng cho kết quả? Ý tôi là, chúng ta có trường hợp có ít nhất một số khoảng thời gian cho một số tham số liên quan và có vẻ như đó là trong trường hợp , như Gamma / Inverse-Gamma

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

3

@Alecos Không, giả định đó không quan trọng. Điều đó và tính liên tục của ở làm cho đối số đơn giản, nhưng không phải là điều cần thiết. Xét một có mật độ tỷ lệ với cho và . Điều này là liên tục ở nhưng không có kỳ vọng.

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

14

Tỷ lệ và ngược chủ yếu là có ý nghĩa với các biến ngẫu nhiên không âm, vì vậy tôi sẽ giả gần như chắc chắn. Sau đó, nếu là một biến rời rạc có giá trị 0 với xác suất dương, chúng ta sẽ chia cho 0 với xác suất dương, điều này giải thích tại sao kỳ vọng sẽ không tồn tại. $X \ge 0$ $X$ $1/X$

Bây giờ hãy xem trường hợp phân phối liên tục, với một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ . Chúng ta sẽ giả sử rằng và là liên tục (ít nhất là bằng 0). Sau đó, có một sao cho cho . Giá trị mong đợi của được đưa ra bởi Bây giờ chúng ta hãy thay đổi biến tích hợp thành , chúng ta có , có được $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ Bây giờ, bằng giả định trên nên trên , sử dụng cái này chúng ta có cho thấy kỳ vọng không tồn tại. Một ví dụ đáp ứng giả định này là phân phối theo cấp số nhân với tỷ lệ 1.

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

Chúng tôi đã đưa ra một câu trả lời cho nghịch đảo, những gì về tỷ lệ? Đặt là tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên không âm. Nếu chúng độc lập, chúng ta có thể viết vì vậy điều này giảm đi rất nhiều cho trường hợp đầu tiên và không có nhiều điều mới để nói . Điều gì xảy ra nếu chúng phụ thuộc, với bao thanh toán mật độ chung là Sau đó, chúng tôi nhận được (sử dụng thay thế tương tự như trên) và chúng ta có thể lý luận như trên về tích phân bên trong. Kết quả sẽ là nếu mật độ có điều kiện (cho $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) là dương và liên tục ở mức 0, đối với một tập hợp có xác suất cận biên dương, kỳ vọng sẽ là vô hạn. Tôi đoán sẽ không dễ để tìm thấy các ví dụ trong đó kỳ vọng cận biên của là vô hạn, nhưng kỳ vọng về tỷ lệ là hữu hạn, trừ khi có một mối tương quan hoàn hảo. Thật tuyệt khi thấy một số ví dụ như vậy!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
nguồn