Hồi quy trên đĩa đơn vị bắt đầu từ các mẫu khác nhau cách đều nhau

Tôi cần giải quyết một vấn đề hồi quy phức tạp trên đĩa đơn vị. Câu hỏi ban đầu thu hút một số ý kiến ​​thú vị, nhưng không có câu trả lời không may. Trong khi đó, tôi đã học được nhiều điều hơn về vấn đề này, do đó tôi sẽ cố gắng chia vấn đề ban đầu thành các bài toán con, và xem liệu lần này tôi có gặp may mắn hơn không.

Tôi có 40 cảm biến nhiệt độ thường xuyên đặt trong một vòng hẹp bên trong đĩa đơn vị:

Những cảm biến thu được nhiệt độ trong thời gian. Tuy nhiên, vì biến thể thời gian nhỏ hơn nhiều so với biến đổi không gian, hãy đơn giản hóa vấn đề bằng cách bỏ qua biến thiên thời gian và giả sử rằng mỗi cảm biến chỉ mang lại cho tôi trung bình thời gian. Điều này có nghĩa là tôi có 40 mẫu (một mẫu cho mỗi cảm biến) và tôi không có mẫu lặp lại.

$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. $T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

$\theta$

Khi mô hình được chọn, tôi cần chọn một thủ tục ước tính. Vì đây là vấn đề hồi quy không gian, nên các lỗi tại các vị trí khác nhau sẽ được tương quan. Bình phương tối thiểu thông thường giả định các lỗi không tương quan, do đó tôi đoán Bình phương tối thiểu hóa sẽ phù hợp hơn. GLS dường như là một kỹ thuật thống kê tương đối phổ biến, cho rằng có một glschức năng trong phân phối R tiêu chuẩn. Tuy nhiên, tôi chưa bao giờ sử dụng GLS và tôi nghi ngờ. Ví dụ, làm thế nào để tôi ước tính ma trận hiệp phương sai? Một ví dụ hoạt động, thậm chí chỉ với một vài cảm biến, sẽ rất tuyệt.

PS Tôi đã chọn sử dụng đa thức Zernike và GLS bởi vì nó dường như là điều hợp lý để làm ở đây. Tuy nhiên tôi không phải là chuyên gia và nếu bạn cảm thấy mình đang đi sai hướng, hãy thoải mái sử dụng một cách tiếp cận hoàn toàn khác.

Tôi nghĩ rằng bạn đang đi đúng hướng khi nghĩ về một cái gì đó như đa thức Zernike. Như đã lưu ý trong câu trả lời của jwimberly, đây là một ví dụ về một hệ thống các hàm cơ sở trực giao trên đĩa. Tôi không quen thuộc với đa thức Zernike, nhưng nhiều họ khác của các hàm trực giao (bao gồm cả hàm Bessel) phát sinh tự nhiên trong vật lý toán học cổ điển khi các hàm riêng cho các phương trình vi phân từng phần nhất định (tại thời điểm viết bài này, hoạt hình ở đầu liên kết đó cho thấy một ví dụ về một đầu trống rung).

$\theta$

$r$$T_{95}$

Đối với câu hỏi thứ hai này, tính biến thiên dữ liệu thực sự có thể giúp giải quyết mọi vấn đề răng cưa, về cơ bản cho phép mọi căn chỉnh sai trung bình vượt qua các phép đo khác nhau. (Giả sử không có sai lệch hệ thống ... nhưng đó sẽ là một vấn đề đối với bất kỳ phương pháp nào, mà không có mô hình vật lý để cung cấp thêm thông tin).

Vì vậy, một khả năng sẽ là xác định các chức năng trực giao không gian của bạn hoàn toàn tại các vị trí cảm biến. Các "Hàm trực giao thực nghiệm" này có thể được tính toán thông qua PCA trên ma trận dữ liệu không gian vũ trụ của bạn. (Có thể bạn có thể sử dụng một số trọng số để tính toán cho các khu vực hỗ trợ cảm biến thay đổi, nhưng với lưới cực và mục tiêu trung bình xuyên tâm, điều này có thể không bắt buộc.)

Lưu ý rằng nếu có là bất kỳ dữ liệu mô hình vật lý có sẵn cho các biến thể "dự kiến" trong nhiệt độ, có sẵn trên một mạng lưới điện toán spatiotemporal dày đặc, sau đó các thủ tục PCA tương tự có thể được áp dụng cho rằng dữ liệu chức năng trực giao lấy được. (Điều này thường được gọi là " Phân rã trực giao thích hợp " trong kỹ thuật, trong đó nó được sử dụng để giảm mô hình, ví dụ như một mô hình động lực học chất lỏng tính toán đắt tiền có thể được chưng cất để sử dụng trong các hoạt động thiết kế tiếp theo.)

Một nhận xét cuối cùng, nếu bạn định trọng lượng dữ liệu cảm biến theo vùng hỗ trợ (tức là kích thước ô cực), đây sẽ là một loại hiệp phương sai chéo, trong khuôn khổ của GLS . (Điều đó sẽ áp dụng cho vấn đề dự đoán của bạn nhiều hơn, mặc dù PCA có trọng số sẽ liên quan chặt chẽ với nhau.)

Tôi hi vọng cái này giúp được!

Cập nhật: Sơ đồ phân phối cảm biến mới của bạn thay đổi mọi thứ đáng kể trong quan điểm của tôi. Nếu bạn muốn ước tính nhiệt độ trên phần bên trong đĩa, bạn sẽ cần nhiều thông tin hơn trước khi chỉ đơn giản là "tập hợp các hàm trực giao trên đĩa đơn vị". Có quá ít thông tin trong dữ liệu cảm biến.

Nếu bạn thực sự muốn ước tính sự thay đổi nhiệt độ không gian trên đĩa, cách hợp lý duy nhất tôi có thể thấy là xử lý vấn đề như một sự đồng hóa dữ liệu . Ở đây, bạn sẽ cần ít nhất phải hạn chế hình thức tham số của phân bố không gian dựa trên một số cân nhắc dựa trên vật lý (chúng có thể là từ mô phỏng hoặc có thể từ dữ liệu liên quan trong các hệ thống có động lực tương tự).

Tôi không biết ứng dụng cụ thể của bạn, nhưng nếu nó là một cái gì đó như thế này , thì tôi sẽ tưởng tượng có một tài liệu kỹ thuật rộng lớn mà bạn có thể rút ra để chọn các ràng buộc phù hợp trước đó. (Đối với loại kiến ​​thức tên miền chi tiết, đây có lẽ không phải là trang web StackExchange tốt nhất để hỏi về.)

$r$$\theta$