Các biến ngẫu nhiên mà bất đẳng thức Markov, Ch Quashev chặt chẽ

Tôi quan tâm đến việc xây dựng các biến ngẫu nhiên mà các bất đẳng thức Markov hoặc Ch Quashev chặt chẽ.

Một ví dụ tầm thường là biến ngẫu nhiên sau đây.

. Giá trị trung bình của nó là 0, phương sai là 1 và P ( | X | ≥ 1 ) = 1 . Đối với biến ngẫu nhiên này, ch Quashev là chặt chẽ (giữ với đẳng thức).$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Có nhiều biến ngẫu nhiên thú vị (không đồng nhất) mà Markov và Ch Quashev chặt chẽ không? Một số ví dụ sẽ là tuyệt vời.

Lớp phân phối mà trường hợp giới hạn của các ràng buộc Ch Quashev được biết đến (và không khó để đoán đơn giản). Chuẩn hóa cho vị trí và quy mô của nó là

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Đây là (theo tỷ lệ) giải pháp được đưa ra tại trang Wikipedia cho bất đẳng thức Ch Quashev .

[Bạn có thể viết một chuỗi các bản phân phối (bằng cách đặt xác hơn tại trung tâm với cùng lấy ra đều từ các thiết bị đầu cuối) đáp ứng đúng sự bất bình đẳng và cách tiếp cận hạn chế trường hợp một cách chặt chẽ như mong muốn.]$\epsilon>0$

Bất kỳ giải pháp khác có thể thu được theo vị trí và quy mô thay đổi điều này: Hãy .$X=\mu+\sigma Z$

Đối với bất đẳng thức Markov, hãy để do đó bạn có xác suất 1 - 1 / k 2 tại 0 và 1 / k 2 tại k . (Người ta có thể giới thiệu một tham số tỷ lệ ở đây nhưng không phải là tham số vị trí)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Bất bình đẳng thời điểm - và thực sự nhiều bất đẳng thức tương tự khác - có xu hướng có các phân phối rời rạc như các trường hợp giới hạn của chúng.

Tôi tin rằng việc có được một phân phối liên tục trên toàn bộ trục thực theo chính xác ràng buộc của Ch Quashev có thể là không thể.

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$

$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$