Nếu tôi có giá trị kỳ vọng của logarit của RV, tôi có thể lấy giá trị kỳ vọng của chính RV không?

Giả sử rằng được cung cấp, tôi có thể lấy được ở định dạng dạng đóng không? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— Theoden
nguồn

Bạn có biết phân phối của log x hoặc x? Ví dụ. là

thường được phân phối? Trong trường hợp chung nhất với

sau một số phân phối tùy ý, bạn sẽ không thể nói nhiều.

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn

Không. Chỉ có giá trị trung bình của nhật ký (x) được đưa ra.

— Theoden

Khá nhiều tất cả các bạn có thể nói là

do Bất đẳng thức Jensen .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

Không.

Ví dụ, nếu tuân theo phân phối log bình thường, nơi , sau đó và không phụ thuộc vào . Tuy nhiên, có ý nghĩa của nó là $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ . Rõ ràng, bạn không thể lấy được mộtsố phụ thuộc từ mộtsố độc lập. $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
nguồn

Nó có ý nghĩa. Tôi cần thêm thông tin sau đó.

— Theoden

Hoặc đối với một ví dụ siêu đơn giản, hãy xem xét các biến ngẫu nhiên X rời rạc (lấy giá trị 1 với xác suất 1/3 và 10 với xác suất 2/3) và Y (lấy giá trị 1 với xác suất 2/3 và 100 với xác suất 1/3) . Sau đó E [log X] = E [log Y] = 1/3 (hoặc một số số khác nếu bạn thích logarit của bạn được đưa đến một cơ sở hợp lý hơn 10, nhưng vẫn bằng nhau vì trong bất kỳ nhật ký cơ sở 100 = 2 log 10). Tuy nhiên E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop