Văn bản kinh tế lượng tuyên bố rằng sự hội tụ trong phân phối ngụ ý sự hội tụ trong những khoảnh khắc

Bổ đề sau có thể được tìm thấy trong Kinh tế lượng của Hayashi :

Bổ đề 2.1 (hội tụ trong phân phối và trong khoảnh khắc): Gọi là khoảnh khắc thứ của và trong đó \ alpha_ {s} là hữu hạn (nghĩa là một số thực). Sau đó:$\alpha_{sn}$$s$$z_{n}$$\lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s}$$\alpha_{s}$

" $z_{n} \to_{d} z$ " $\implies$ " $\alpha_{s}$ là khoảnh khắc thứ $s$ của $z$ ."

Do đó, ví dụ, nếu phương sai của một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ trong phân phối hội tụ đến một số hữu hạn, thì số đó là phương sai của phân phối giới hạn

Theo tôi hiểu, không có giả định bổ sung nào về $z_{n}$ có thể được suy ra từ ngữ cảnh. Bây giờ hãy xem xét một chuỗi các biến ngẫu nhiên được xác định bởi $z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}$ trong phép đo xác suất thống nhất trên $[0,1]$ .

Sau đó $z_{n} \to_{d} 0$ , nhưng $(\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0)$ .

Nếu tôi đang đọc chính xác bổ đề trên, $\{z_n\}$ sẽ cung cấp một ví dụ mẫu.

Câu hỏi: Là bổ đề sai? Có một kết quả liên quan chỉ định các điều kiện chung theo đó sự hội tụ trong phân phối ngụ ý sự hội tụ trong các khoảnh khắc?

Một điều kiện bổ sung đủ là tính tích hợp đồng nhất , nghĩa là Sau đó, người ta nhận được rằng có thể tích hợp và .

$$\lim_{M\to\infty} \sup_n \int_{|X_n|>M}|X_n|dP= \lim_{M\to\infty} \sup_n E [|X_n|1_{|X_n|>M}]=0.$$ $X$$\lim_{n\to\infty}E[X_n]=\mathbb{E}[X]$

Về mặt heuristic, điều kiện này quy định rằng vẫn còn những đóng góp "cực đoan" cho tích phân (kỳ vọng) không có triệu chứng.

Bây giờ, đây thực sự là chính xác những gì xảy ra trong ví dụ của bạn, vì - đừng tâm với xác suất biến mất - có thể lấy giá trị phân kỳ . Hơi chính xác hơn, cho tất cả . Do đó, không hội tụ đồng đều về 0, vì chúng ta không thể tìm thấy một sao cho cho tất cả , tất cả và tất cả .$z_n$$n$$E[|z_n|1_{\{|z_n|>M\}}]=E[z_n1_{\{z_n>M\}}]=1$$n>M$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]$$N$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]<\epsilon$$n\geq N$$\epsilon>0$$M$

Một điều kiện đủ để tích hợp đồng đều là cho một số .

$$\sup_n E[|X_n|^{1+\epsilon}]<\infty$$ $\epsilon>0$

Và mặc dù không thỏa mãn điều kiện đủ, tất nhiên không có bằng chứng về sự thiếu tích hợp đồng nhất, thậm chí còn trực tiếp hơn khi thấy điều kiện này không được thỏa mãn, vì rõ ràng là không có giới hạn hơn .

$$E[|X_n|^{1+\epsilon}]=n^\epsilon,$$ $\sup$$n$

Thật vậy, đây là một lỗi đã biết của cuốn sách này (xem trang web của nó trong errata .pdf), rằng bổ đề cụ thể không nêu rõ điều kiện giới hạn thời điểm

$$\exists \; \delta : E(|z_n|^{s+\delta}) < M < \infty\;\; \forall n$$