Có nghĩa là = chế độ ngụ ý phân phối đối xứng?

Tôi biết câu hỏi này đã được hỏi với trường hợp mean = median, nhưng tôi không tìm thấy bất cứ điều gì liên quan đến mean = mode.

Nếu chế độ bằng giá trị trung bình, tôi có thể luôn kết luận đây là phân phối đối xứng không? Tôi sẽ bị buộc phải biết trung bình cho cách này?

Có nghĩa là = chế độ không ngụ ý đối xứng.

Ngay cả khi mean = median = mode bạn vẫn không nhất thiết phải có tính đối xứng.

Và theo dự đoán của việc theo dõi tiềm năng - ngay cả khi mean = median = mode và khoảnh khắc trung tâm thứ ba bằng không (vì vậy độ lệch là 0), bạn vẫn không nhất thiết phải có sự đối xứng.

... nhưng đã có một tiếp theo đó. NickT đã hỏi trong các bình luận nếu có tất cả các khoảnh khắc lẻ bằng 0 là đủ để yêu cầu sự đối xứng. Câu trả lời cho điều đó cũng là không. [Xem phần thảo luận ở cuối. † ]$^\dagger$

Những điều khác nhau đó đều được ngụ ý bởi tính đối xứng (giả sử những khoảnh khắc có liên quan là hữu hạn) nhưng hàm ý không đi theo hướng khác - mặc dù có nhiều văn bản cơ bản nói rõ ràng về một hoặc nhiều trong số chúng.

Counterexamples là khá nhỏ để xây dựng.

Hãy xem xét phân phối rời rạc sau đây:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Nó có nghĩa là, trung vị, chế độ và khoảnh khắc trung tâm thứ ba (và do đó là độ lệch thời gian) tất cả 0 nhưng nó không đối xứng.

Loại ví dụ này có thể được thực hiện với một phân phối hoàn toàn liên tục là tốt. Ví dụ: đây là một mật độ có cùng thuộc tính:

Đây là hỗn hợp mật độ tam giác đối xứng (mỗi mật độ 2) với các phương tiện tại -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 và các trọng số hỗn hợp 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 tương ứng. Thực tế là tôi mới thực hiện điều này bây giờ - chưa bao giờ nhìn thấy nó trước đây - cho thấy những trường hợp này đơn giản như thế nào để xây dựng.

[Tôi đã chọn các thành phần hỗn hợp hình tam giác để chế độ sẽ rõ ràng rõ ràng - có thể sử dụng phân phối mượt mà hơn.]

Dưới đây là một ví dụ riêng biệt để giải quyết các câu hỏi của Hong Ooi về khoảng cách đối xứng mà các điều kiện này cho phép bạn có được. Đây không phải là một trường hợp hạn chế, nó chỉ minh họa rằng thật đơn giản để tạo ra một ví dụ trông không đối xứng:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Spike tại 0 có thể được thực hiện tương đối cao hơn hoặc thấp hơn mà không thay đổi các điều kiện; tương tự, điểm ra bên phải có thể được đặt xa hơn (với xác suất giảm) mà không thay đổi độ cao tương đối ở mức 1 và -2 (nghĩa là xác suất tương đối của chúng sẽ ở gần tỷ lệ 2: 1 khi bạn di chuyển ngoài cùng bên phải yếu tố về).

Chi tiết hơn về câu trả lời cho câu hỏi của NickT

$\dagger$

Tôi sẽ không gọi đó là phân phối đối xứng.

Không.

Để cho $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc với $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$, $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$và $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$. Chắc chắn,$X$ không đối xứng, nhưng giá trị trung bình và chế độ của nó đều bằng 0.

Để lặp lại một câu trả lời tôi đã đưa ra ở nơi khác , nhưng cũng phù hợp ở đây:

which not only has mean, median and mode all equal, but also has zero skewness. Many other versions are possible.