Các tính chất của một nửa phân phối Cauchy là gì?

Tôi hiện đang làm việc về một vấn đề, trong đó tôi cần phát triển thuật toán Markov chuỗi Monte Carlo (MCMC) cho mô hình không gian trạng thái.

Để có thể giải quyết vấn đề, tôi đã được đưa ra xác suất sau $\tau$ : p ( $\tau$ ) = 2I ( $\tau$ > 0) / (1+ $\tau^2$ ). $\tau$ là độ lệch chuẩn của . $x$

Vì vậy, bây giờ tôi biết rằng đó là một phân phối nửa Cauchy, bởi vì tôi nhận ra nó khi xem các ví dụ và, vì tôi đã nói như vậy. Nhưng tôi không hiểu đầy đủ lý do tại sao nó là bản phân phối "Half-Cauchy" và thuộc tính nào đi kèm với nó.

Về mặt tài sản tôi không chắc chắn những gì tôi muốn. Tôi còn khá mới với loại lý thuyết kinh tế lượng này. Vì vậy, nó là nhiều hơn cho tôi để hiểu phân phối và cách chúng ta sử dụng trong bối cảnh mô hình không gian trạng thái. Mô hình chính nó trông như thế này:

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + a_{t + 1} \\ a_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 I (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Chỉnh sửa: Tôi đã bao gồm trong p ( ). Cảm ơn bạn đã chỉ ra điều này. $\pi$ $\tau$

— Christoph
nguồn

Vui lòng cho biết các thuộc tính mà bạn quan tâm: sau tất cả, có vô số nhiều thứ mà người ta có thể mô tả.

— whuber

x \geq 0

$x\geq 0$

Một nửa Cauchy là một trong những nửa đối xứng của phân phối Cauchy (nếu không xác định, đó là một nửa bên phải dự định):

$\frac12$ $\frac{1}{\pi}$ như whuber lưu ý trong ý kiến).

Một nửa Cauchy có nhiều tính chất; một số thuộc tính hữu ích chúng ta có thể muốn trước.

Một lựa chọn phổ biến cho ưu tiên trên tham số tỷ lệ là gamma nghịch đảo (không phải ít nhất, vì nó liên hợp cho một số trường hợp quen thuộc). Khi muốn có thông tin yếu trước, các giá trị tham số rất nhỏ sẽ được sử dụng.

Một nửa Cauchy có đuôi khá nặng và nó cũng có thể được coi là thông tin khá yếu trong một số tình huống. Gelman ([1] chẳng hạn) ủng hộ các linh mục nửa người (bao gồm cả nửa Cauchy) trong gamma nghịch đảo vì họ có hành vi tốt hơn đối với các giá trị tham số nhỏ nhưng chỉ coi đó là thông tin rõ ràng khi sử dụng tham số quy mô lớn *. Gelman đã tập trung nhiều hơn vào nửa Cauchy trong những năm gần đây. Bài báo của Trinon và Scott [2] đưa ra những lý do bổ sung cho việc lựa chọn một nửa Cauchy nói riêng.

* Bài viết của bạn cho thấy một nửa Cauchy tiêu chuẩn. Gelman có lẽ sẽ không chọn điều đó trước. Nếu bạn không có ý nghĩa gì trong thang đo, điều đó tương ứng với việc nói rằng thang đo có khả năng cao hơn 1 như dưới 1 (có thể là điều bạn muốn) nhưng nó sẽ không phù hợp với một số điều mà Gelman đang tranh cãi cho

[1] A. Gelman (2006),
"Phân phối trước cho các tham số phương sai trong các mô hình phân cấp"
Phân tích Bayes , Tập. 1, N. 3, trang 515 Hậu533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Arlingtonon và JG Scott (2012),
"Trước một nửa cầu nối cho một thông số quy mô toàn cầu"
Phân tích Bayes , Vol. 7, Số 4, trang 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, vị trí trong nửa Cauchy trong câu trả lời của bạn là gì?

— rnorouzian

@morouzian bạn quan tâm đến biện pháp nào? Được coi là một thành viên của một gia đình có quy mô địa điểm, mẫu tiêu chuẩn đang được thảo luận có vị trí là 0 và tỷ lệ 1, nhưng tôi không chắc đó có phải là những gì bạn đang hỏi không. (Trung vị của nó là 1, như được đề xuất ở gần cuối câu trả lời của tôi, nếu điều đó có ích.)

— Glen_b -Reinstate Monica