Một mẫu của một biến ngẫu nhiên là gì?

Biến ngẫu nhiên được định nghĩa là một hàm có thể đo được từ một - với số đo cơ bản đến một - khác . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Làm thế nào để chúng ta nói về một mẫu của biến ngẫu nhiên này? Chúng ta có coi nó như một yếu tố từ không? Hoặc là chức năng đo lường tương tự như ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

Tôi có thể đọc thêm về điều này ở đâu?

Thí dụ:

Trong ước tính Monte Carlo, chúng tôi chứng minh tính không thiên vị của công cụ ước tính bằng cách xem xét các mẫu là các hàm. Nếu một kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên được định nghĩa là $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

và giả sử rằng là các hàm và , chúng ta có thể tiến hành như sau: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

Nếu chỉ là một phần tử từ , chúng ta không thể viết tập phương trình cuối cùng. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
nguồn

trong ví dụ của bạn, tất cả sẽ có sự phân bố tương tự như bạn mô tả, do đó expecation của họ là giống như của .

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

Câu trả lời:

Một mẫu là một chức năng đo lường được từ để . Nhận thức về mẫu này là giá trị được lấy bởi hàm tại , . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Khi nói

giả sử rằng là các hàm và $X^n$ $X^n=X$

Các chức năng là tất cả các chức năng khác nhau, có nghĩa là các hình ảnh có thể khác nhau đối với một . Khi mẫu là iid (phân phối độc lập và giống hệt nhau), các hàm khác nhau với hai thuộc tính khác $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

phân phối giống hệt nhau, có nghĩa là cho tất cả các bộ có thể đo trong ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
tính độc lập, nghĩa là cho tất cả các bộ có thể đo được trong $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Định nghĩa của bạn

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

không chính xác: nó nên

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— Tây An
nguồn

Mẫu có thể được rút ra từ dân số , không phải từ biến ngẫu nhiên. "Mẫu của biến ngẫu nhiên" là một cách đơn giản để nói rằng chúng ta có một mẫu được rút ra từ dân số, mà chúng ta giả sử là biến ngẫu nhiên phân phối giống hệt nhau. Vì vậy, mẫu như vậy hành xử như biến ngẫu nhiên. Nó mơ hồ bởi vì nó trộn lẫn thuật ngữ được sử dụng trong xác suất và thống kê. Tương tự với mô phỏng, trong đó các mẫu được rút ra từ phân phối chung . Trong cả hai trường hợp mẫu là dữ liệu $n$ $n$ $n$ bạn có. Các mẫu được coi là các biến ngẫu nhiên vì các quá trình ngẫu nhiên dẫn đến việc vẽ chúng. Chúng được phân phối giống hệt nhau vì chúng đến từ phân phối chung. Để xử lý các mẫu, chúng tôi có số liệu thống kê, trong khi số liệu thống kê sử dụng mô tả toán học trừu tượng về các vấn đề của nó theo lý thuyết xác suất, vì vậy thuật ngữ này được trộn lẫn. Biến ngẫu nhiên là các hàm gán xác suất cho các sự kiện có thể gặp trong các mẫu của bạn.

— Tim
nguồn

Những gì về bối cảnh mô phỏng Monte Carlo. Ở đó, các mẫu không phải từ một dân số. Họ là từ các máy phát số ngẫu nhiên.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r vẫn là mẫu, được rút ra từ một bản phân phối chung.

— Tim

Vậy tôi sẽ coi nó như một yếu tố từ hoặc một chức năng từ đến ?

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

— sk1ll3r

@ sk1ll3r như bdeonovic đã nói, nó chỉ là một biến ngẫu nhiên thông thường, không có gì hơn thế này.

— Tim