Đạo hàm của sự thay đổi các biến của hàm mật độ xác suất?

Trong nhận dạng mẫu sách và học máy (công thức 1.27), nó mang lại

p_{y} (y) = = p_{x} (x) | \frac{d x}{d y} | = = p_{x} (g (y)) | g^{'} (y) |

$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$ trong đó , là pdf tương ứng với đối với sự thay đổi của biến.

x = g (y)

$x=g(y)$

p_{x} (x)

$p_x(x)$

p_{y} (y)

$p_y(y)$

Các cuốn sách nói rằng bởi vì các quan sát thuộc phạm vi , đối với các giá trị nhỏ của , sẽ được chuyển thành phạm vi . $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y)$

Làm thế nào là nguồn gốc chính thức này?

Cập nhật từ Dilip Sarwate

Kết quả chỉ giữ nếu là hàm tăng hoặc giảm đơn điệu nghiêm ngặt. $g$

Một số chỉnh sửa nhỏ cho câu trả lời của LV Rao Do đó, nếu tăng đơn điệu thì nếu giảm đơn điệu

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = {\begin{cases} P (X \leq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically increasing \\ P (X \geq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically decreasing \end{cases}

$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$

g

$g$

F_{Y} (y) = F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

F_{Y} (y) = = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

∴ f_{Y} (y) = = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$

— không
nguồn

Kết quả chỉ giữ nếu là hàm tăng hoặc giảm đơn điệu nghiêm ngặt. Vẽ biểu đồ của và giải đố bằng cách sử dụng ý tưởng cơ bản đằng sau định nghĩa của đạo hàm (không phải định nghĩa chính thức với epsilon và delta). Ngoài ra, có một câu trả lời của @whuber trên trang web này trong đó nêu ra các chi tiết; đó là, điều này nên được đóng lại như là một bản sao.

g

$g$

g

$g$

— Dilip Sarwate

Giải thích về cuốn sách của bạn gợi nhớ đến cuốn tôi đã cung cấp tại stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Tôi cũng đã đăng một phương pháp đại số chung tại stats.stackexchange.com/a/101298/919 và một lời giải thích hình học tại stats.stackexchange.com/a/4223/919 .

— whuber

@DilipSarwate cảm ơn lời giải thích của bạn, tôi nghĩ rằng tôi hiểu trực giác, nhưng tôi quan tâm hơn đến việc làm thế nào nó có thể được bắt nguồn bằng cách sử dụng các quy tắc và định lý hiện có :)

— dontloo

Giả sử là biến ngẫu nhiên liên tục có f (x). Nếu chúng ta định nghĩa , trong đó g () là một hàm đơn điệu, thì của thu được như sau: bằng cách phân biệt các CDF trên cả hai mặt wrt , chúng tôi nhận được pdf của . Hàm g () có thể tăng đơn điệu hoặc giảm đơn điệu. Nếu hàm g () tăng đơn điệu, thì pdf của được cung cấp bởi $X$ pdf $Y=g(X)$ pdf $Y$

\begin{array}{rcl} P (Y \leq y) & = = & P (g (X) \leq y) \\ = = & P (X \leq g^{- 1} (y)) \\ o r F_{Y} (y) & = = & F_{X} (g^{- 1} (y)), theo định nghĩa của CDF \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$

y

$y$

Y

$Y$

Y

$Y$

f_{Y} (y) = = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$ và mặt khác, nếu nó giảm đơn điệu, thì pdf của được đưa ra bởi Hai phương trình trên có thể được kết hợp thành một phương trình duy nhất:

Y

$Y$

f_{Y} (y) = = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

∴ f_{Y} (y) = = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$

— LVRao
nguồn

Nhưng vì tích phân trên fx phải tổng bằng 1 và fy là phiên bản thu nhỏ của fx, không có nghĩa là fy không phải là pdf thích hợp, trừ khi jacobian trong abs () là 1 hoặc -1?

— Chris

@Chris Jacobian của không nhất thiết phải là hàm hằng, vì vậy nó có thể> 1 ở một số nơi và <1 ở những nơi khác.

g^{- 1}

$g^{-1}$

— Yatharth Agarwal