Hạt nhân cosine có thể được hiểu là một trường hợp phân phối Beta?

Theo ghi nhận của Wand và Jones (1995), hầu hết các hạt nhân tiêu chuẩn có thể được coi là một trường hợp

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

gia đình, trong đó $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ là một hàm Beta. Các giá trị khác nhau của $p$ dẫn đến các hạt nhân hình chữ nhật ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), bi weight ( $p=2$ ) và tri weight ( $p=3$ ).

Có thể nhân cosin (như được hiểu trong densitychức năng của R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

cũng được coi là một thành viên của gia đình này? Nếu vậy, giá trị thích hợp của $p$ cho nó là gì? Sau khi thực hiện một số mô phỏng, tôi đoán rằng $\approx 2.35$ khá gần, nhưng (làm thế nào) tôi có thể tìm thấy sự phù hợp mà không cần mô phỏng? Nếu không, nó có thể được xấp xỉ bằng cách sử dụng phân phối beta không?

Đũa phép, MP và Jones, MC (1995). Làm mịn hạt nhân. Chapman và Hội trường, London.

distributions kernel-smoothing beta-distribution

— Tim
nguồn

Hàm Beta với các đối số nguyên chỉ là một số tỷ lệ của các yếu tố, nhưng đối với các đối số không phải là số nguyên tôi nghi ngờ rằng nó sẽ đơn giản hóa mọi thứ hữu ích; và nó chắc chắn chỉ là một số phụ thuộc vào nên không có cách nào bạn có thể có được hàm cosine từ biểu thức này.

p

$p$

— amip

@amoeba vẫn vậy, nó có thể được xấp xỉ không? Và câu hỏi thứ hai là: làm thế nào họ tìm thấy các giá trị cho các hạt nhân khác?

— Tim

@Tim, ý của bạn là "làm thế nào mà họ tìm thấy"? Chỉ bằng cách cắm vào?

— Christoph Hanck

@amoeba bạn không cần toàn bộ cosin, chỉ có đường cong giữa . Như chúng ta biết, đó là một tổng số vô hạn (Taylor mở rộng quanh 0).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Firebug

@ChristophHanck đúng, điều này là hiển nhiên, tôi rút lại câu hỏi này :) Bằng cách nào đó tôi bắt đầu nghĩ về nó theo phân phối Beta thay vì tập trung trực tiếp vào nó.

— Tim

Hạt nhân cosine không phải là một bản phân phối beta.

Lưu ý rằng những điều sau đây đều đúng với mật độ cosine tiêu chuẩn:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
Nửa bên phải của mật độ này đối xứng xoay quanh : (nghĩa là xem xét hai thuộc tính khác, nó ngụ ý ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Nhưng không có mật độ beta trên (-1,1) sẽ có tất cả các thuộc tính này cùng nhau.

Mật độ nhân beta đối xứng có thể được viết là:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Ví dụ, điều kiện đầu tiên ngụ ý a khoảng ( ). Thứ hai ngụ ý là 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Tuy nhiên, giá trị của gần rằng sự lựa chọn của (3,38175) cho mật độ thực sự khá gần với cosin. $a$ $a$

[Điều này khá gần với của bạn (vì ); một loạt các giá trị trong khu vực này cho mật độ tương tự như cosin.] $p=2.35$ $p=a-1$

Độ lệch tuyệt đối nhỏ nhất về mật độ xảy ra đối với - không phải việc giảm thiểu độ lệch tuyệt đối sẽ làm cho các tính chất giống nhau nhất. $p\approx 2.3575$

Đây là cosine và beta (với ): $p=2.3575$

Mặc dù chúng không giống nhau, nhưng chúng có hình dạng khá giống nhau.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Chỉ muốn nói lời cảm ơn. Thật thú vị khi biết rằng trong khi không thể có được kết quả khớp chính xác, chúng ta có thể tiến gần đến mức gần đúng.

— Tim

Giá trị của không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì xấp xỉ chuỗi Taylor bậc ba với cosin gợi ý .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

— whuber