Khoảng cách Mahalanobis qua PCA khi

Tôi có một ma trận , trong đó là số lượng gen và là số lượng bệnh nhân. Bất cứ ai làm việc với dữ liệu đó đều biết rằng luôn lớn hơn . Sử dụng lựa chọn tính năng tôi đã nhận được xuống một số hợp lý hơn, tuy nhiên vẫn lớn hơn .p n p n p p $n\times p$$p$$n$$p$$n$$p$$p$$n$

Tôi muốn tính toán sự giống nhau của bệnh nhân dựa trên hồ sơ di truyền của họ; Tôi có thể sử dụng khoảng cách euclide, tuy nhiên Mahalanobis có vẻ phù hợp hơn vì nó tính đến mối tương quan giữa các biến. Vấn đề (như đã lưu ý trong bài này ) là khoảng cách Mahalanobis, cụ thể là ma trận hiệp phương sai, không hoạt động khi . Khi tôi chạy khoảng cách Mahalanobis trong R, lỗi tôi nhận được là:$n < p$

 Error in solve.default(cov, ...) :    system is computationally
 singular: reciprocal condition number = 2.81408e-21

Cho đến nay để thử giải quyết vấn đề này, tôi đã sử dụng PCA và thay vì sử dụng gen, tôi sử dụng các thành phần và điều này dường như cho phép tôi tính khoảng cách Mahalanobis; 5 thành phần đại diện cho khoảng 80% phương sai, vì vậy bây giờ .$n > p$

Câu hỏi của tôi là: Tôi có thể sử dụng PCA để có được khoảng cách Mahalanobis giữa các bệnh nhân một cách có ý nghĩa hay không? Có số liệu khoảng cách thay thế nào hoạt động khi và cũng có nhiều mối tương quan giữa các biến không?$n < p$$n$

Nếu bạn giữ tất cả các thành phần từ PCA - thì khoảng cách Euclide giữa các bệnh nhân trong không gian PCA mới sẽ bằng khoảng cách Mahalanobis của họ trong không gian biến quan sát. Nếu bạn bỏ qua một số thành phần, điều đó sẽ thay đổi một chút, nhưng dù sao đi nữa. Ở đây tôi đề cập đến các thành phần PCA phương sai đơn vị, không phải là loại có phương sai bằng với giá trị riêng (tôi không chắc chắn về việc triển khai PCA của bạn).

Ý tôi là, nếu bạn muốn đánh giá khoảng cách Mahalanobis giữa các bệnh nhân, bạn có thể áp dụng PCA và đánh giá khoảng cách Euclide. Đánh giá khoảng cách Mahalanobis sau khi áp dụng PCA dường như là một điều gì đó vô nghĩa đối với tôi.

Hãy xem bài báo sau:

Zuber, V., Silva, APD, & Strimmer, K. (2012). Một thuật toán mới cho lựa chọn SNP đồng thời trong các nghiên cứu kết hợp genome chiều rộng . BMC tin sinh học , 13 (1), 284.

Nó chính xác giải quyết vấn đề của bạn. Các tác giả cho rằng việc sử dụng một phép đo tầm quan trọng của biến mới, bên cạnh đó trước đó họ đã đưa ra một phương pháp ước lượng bị phạt cho ma trận tương quan của các biến giải thích phù hợp với vấn đề của bạn. Họ cũng sử dụng khoảng cách Mahalanobis cho sự tan rã!

Các phương thức được bao gồm trong gói 'care', có sẵn trên CRAN

Điểm PCA (hoặc kết quả PCA) được sử dụng trong tài liệu để tính khoảng cách Mahalanobis giữa mẫu và phân phối mẫu. Ví dụ, xem bài viết này . Trong phần "Phương pháp phân tích", các tác giả nêu rõ:

Các tập dữ liệu của phổ huỳnh quang (681) được giảm xuống chiều thấp hơn (11) bằng cách đánh giá các thành phần chính (PC) của ma trận tương quan (681 × 681). Điểm số PC được ước tính bằng cách chiếu dữ liệu gốc dọc theo PC. Phân loại giữa các bộ dữ liệu đã được thực hiện bằng mô hình khoảng cách Mahalanobis bằng cách tính khoảng cách Mahalanobis cho điểm số PC.

Tôi đã thấy các ví dụ khác về phân tích phân biệt đối xử dựa trên khoảng cách PCA / Mahalanobis trong tài liệu và trong menu trợ giúp của phần mềm hóa học GRAM IQ. Sự kết hợp này có ý nghĩa vì khoảng cách Mahalanobis không hoạt động tốt khi số lượng biến lớn hơn số lượng mẫu có sẵn và PCA giảm số lượng biến.

Các thuật toán học máy phân loại một lớp (ví dụ: Khu rừng cách ly, One-ClassSVM, v.v.) là những giải pháp thay thế khả thi cho phân tích phân biệt đối xử dựa trên khoảng cách PCA / Mahalanobis. Trong phòng thí nghiệm của chúng tôi, Rừng cách ly kết hợp với xử lý trước dữ liệu đã tạo ra kết quả tốt trong việc phân loại phổ hồng ngoại gần.

Trên một lưu ý hơi liên quan, phát hiện ngoại lệ hoặc mới lạ với khoảng cách PCA / Mahalanobis, đối với dữ liệu có độ mờ cao, thường yêu cầu tính toán khoảng cách cắt Mahalanobis . Bài viết này gợi ý rằng điểm cắt có thể được tính là căn bậc hai của giá trị tới hạn của phân phối chi bình phương , giả sử rằng dữ liệu được phân phối bình thường. Giá trị tới hạn này yêu cầu số bậc tự do và giá trị xác suất liên quan đến dữ liệu. Bài báo dường như đề xuất rằng số lượng thành phần chính được giữ lại bằng với số bậc tự do cần thiết để tính giá trị tới hạn vì các tác giả đã sử dụng số lượng tính năng trong bộ dữ liệu để tính toán.