Bạn có thể giải thích ước tính mật độ cửa sổ Parzen (kernel) theo thuật ngữ của cư sĩ không?

24

Ước tính mật độ cửa sổ Parzen được mô tả là

p (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{h^{2}} ϕ (\frac{x_{i} - x}{h})

$p(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{h^2} \phi \left(\frac{x_i - x}{h} \right)$

Trong đó là số phần tử trong vectơ, là vectơ, là mật độ xác suất của , là thứ nguyên của Cửa sổ Parzen và là hàm cửa sổ. $n$ $x$ $p(x)$ $x$ $h$ $\phi$

Câu hỏi của tôi là:

Sự khác biệt cơ bản giữa Hàm cửa sổ Parzen và các hàm mật độ khác như Hàm Gaussian là gì?
Vai trò của Hàm cửa sổ ( ) trong việc tìm mật độ của gì? $\phi$ $x$
Tại sao chúng ta có thể cắm các hàm mật độ khác thay cho Hàm Window?
Vai trò của trong việc tìm mật độ của gì? $h$ $x$

— người dùng366312
nguồn

44

Ước tính mật độ cửa sổ Parzen là tên gọi khác của ước tính mật độ hạt nhân . Đây là một phương pháp không tham số để ước tính hàm mật độ liên tục từ dữ liệu.

Hãy tưởng tượng rằng bạn có một số datapoints $x_1,\dots,x_n$ đến từ chưa biết thông thường, có lẽ là liên tục, phân phối $f$ . Bạn quan tâm đến việc ước tính phân phối cho dữ liệu của bạn. Một điều mà bạn có thể làm chỉ đơn giản là xem xét phân phối theo kinh nghiệm và coi nó như một mẫu tương đương với phân phối thực sự. Tuy nhiên, nếu dữ liệu của bạn liên tục, thì rất có thể bạn sẽ thấy mỗi $x_i$ điểm chỉ xuất hiện một lần trong tập dữ liệu, do đó, dựa trên điều này, bạn sẽ kết luận rằng dữ liệu của bạn đến từ một phân phối thống nhất vì mỗi giá trị có xác suất bằng nhau. Hy vọng rằng, bạn có thể làm tốt hơn thế này: bạn có thể đóng gói dữ liệu của mình trong một số khoảng cách đều nhau và đếm các giá trị rơi vào mỗi khoảng. Phương pháp này sẽ dựa trên việc ước tính biểu đồ . Thật không may, với biểu đồ bạn kết thúc với một số thùng, thay vào đó là phân phối liên tục, do đó, nó chỉ là một xấp xỉ thô.

$f$ $K$ $\phi$ $x_i$ $h$

\hat{f_{h}} (x) = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x - x_{i}}{h})

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

$K$ $h$ $x_i$ $h$ $h$

$K$ $K(x) = K(-x)$

$h$

$x_i$ $f$ $x_i$ $h$ $K$ $\hat{f_h}$ $\hat{f_h}$ $x$ $\hat{f_h}(x)$ $f(x)$

$f$

Sự khác biệt giữa mật độ hạt nhân và mật độ khác, như phân phối bình thường, là mật độ "thông thường" là các hàm toán học, trong khi mật độ hạt nhân là xấp xỉ mật độ thực được ước tính bằng dữ liệu của bạn, vì vậy chúng không phải là phân phối "độc lập".

Tôi muốn giới thiệu cho bạn hai cuốn sách giới thiệu hay về chủ đề này của Silverman (1986) và Wand và Jones (1995).

Người bạc, BW (1986). Ước tính mật độ cho thống kê và phân tích dữ liệu. CRC / Chapman & Hội trường.

Đũa phép, MP và Jones, MC (1995). Làm mịn hạt nhân. Luân Đôn: Chapman & Hội trường / CRC.

— Tim
nguồn

x

$x$

x_{i}

$x_i$

x

$x$

1

@anonymous Tôi đã thêm chỉnh sửa giới thiệu câu hỏi của bạn trong phần bình luận ở cuối đoạn "Nói điều này bằng tiếng Anh đơn giản ...".

— Tim

4

$\phi$

$x$ $\phi_h(x_i - x)$ $x$ $x_1=1$ $x_2 = 2$ $\sigma=1$ $\phi_h$ $x$ $\frac{\mathcal{N}_{1, 1}(x) + \mathcal{N}_{2, 1}(x)}{2}$

3) Bạn có thể cắm bất kỳ chức năng mật độ nào bạn thích làm chức năng cửa sổ của mình.

$h$

— David J. Harris
nguồn