Tại sao thay đổi nhật ký tự nhiên là phần trăm thay đổi? Điều gì về bản ghi làm cho điều này như vậy?

Ai đó có thể giải thích làm thế nào các thuộc tính của các bản ghi làm cho nó để bạn có thể thực hiện hồi quy tuyến tính trong đó các hệ số được hiểu là phần trăm thay đổi?

Đối với $x_2$ và $x_1$ gần nhau, phần trăm thay đổi $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ xấp xỉ nhật ký chênh lệch$\log x_2 - \log x_1$.

Tại sao phần trăm thay đổi xấp xỉ chênh lệch log?

Một ý tưởng từ phép tính là bạn có thể tính gần đúng một hàm trơn tru với một dòng. Phép tính gần đúng tuyến tính chỉ đơn giản là hai thuật ngữ đầu tiên của Sê-ri Taylor . Đơn hàng đầu tiên Taylor Mở rộng $\log(x)$ quanh $x=1$ được đưa ra bởi:

$$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$$ Phía bên tay phải đơn giản hóa thành$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$do đó: $$\log(x) \approx x-1$$

Vì vậy, với $x$ trong vùng lân cận của 1, chúng ta có thể tính gần đúng $\log(x)$ với dòng $y = x - 1$ Dưới đây là biểu đồ của $y = \log(x)$ và $y = x - 1$ .

Ví dụ: $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$ .

$x_2$$x_1$$\frac{x_2}{x_1} \approx 1$$\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

$$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$$

Thay đổi phần trăm là một xấp xỉ tuyến tính của chênh lệch log!

Tại sao đăng nhập khác biệt?

Thông thường khi bạn suy nghĩ về tỷ lệ phần trăm thay đổi, khái niệm sạch hơn về mặt toán học là suy nghĩ về sự khác biệt của nhật ký. Khi bạn liên tục nhân các thuật ngữ với nhau, việc ghi nhật ký sẽ thuận tiện hơn và thay vào đó thêm các thuật ngữ lại với nhau.

$T$

$$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$$ $$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$$ $r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Trường hợp phần trăm thay đổi và sự khác biệt nhật ký KHÔNG giống nhau?

$y = \log(x)$$y = x - 1$$x=1$

$$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$$

Sự khác biệt đăng nhập trong trường hợp này là gì?

Một cách để suy nghĩ về điều đó là sự khác biệt trong các bản ghi của 0,47 tương đương với sự tích lũy của 47 khác biệt .01 khác nhau, tương đương với 47 1% thay đổi tất cả được gộp lại với nhau.

$$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$$

$$1.6 \approx 1.01 ^{47}$$

Chênh lệch log 0,47 tương đương với 47 mức tăng 1% khác nhau, hoặc thậm chí tốt hơn, 470 khác nhau .1% tăng tất cả các hợp chất, v.v ...

Một số câu trả lời ở đây làm cho ý tưởng này rõ ràng hơn.

Đây là phiên bản dành cho người giả ...

$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$$1\text{-unit}$$X=x_1$$\hat \beta_1$$Y$$Y=y_1$$\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$$\hat\delta_1$

$$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$$

$(*)$

$$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$$(**)$$\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

$\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$$\hat\delta_1$$e^x$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

$\delta_1$$x$

$$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$$

$\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

$$\ln y = A+B x$$ $$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$$

$b$$y$

$$\frac{dy}{y}=B dx$$

$y$

$$dy=B dx$$

$dx,dy$$\Delta x,\Delta y$

$r$ $n$

$$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$$

$n \rightarrow \infty$

$$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$$

$r = \ln I(\infty)$

---