Chứng minh rằng

Đối với biến ngẫu nhiên không âm , làm thế nào để chứng minh rằng không tăng trong ? $X$ $E(X^n)^{\frac1n}$ $n$

mathematical-statistics random-variable moments

— Dhamnekar Winod
nguồn

Viết thay cho để nhấn mạnh nó có thể là bất kỳ số thực dương nào, thay vì chỉ là một số nguyên như được đề xuất bởi " ". $p$ $n$ $n$

Chúng ta hãy thực hiện một số biến đổi sơ bộ tiêu chuẩn để đơn giản hóa các tính toán tiếp theo. Nó làm cho không có sự khác biệt với kết quả để rescale . Kết quả là không đáng kể nếu gần như ở mọi nơi bằng 0, vì vậy giả sử là khác không, vì vậy cũng là khác không cho tất cả . Bây giờ hãy sửa và chia cho sao cho không mất tính tổng quát. $X$ $X$ $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X^p)$ $p$ $p$ $X$ $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

\begin{matrix} (1) & E (X^{p}) = 1, \end{matrix}

$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$

Đây là cách suy luận có thể tiến hành khi bạn cố gắng tìm ra lần đầu tiên và bạn đang cố gắng không làm việc quá sức. Tôi sẽ để lại lời biện minh chi tiết của từng bước cho bạn.

Biểu thức là không tăng nếu và chỉ khi logarit của nó không tăng. Nhật ký đó là khác biệt và do đó là không tăng nếu và chỉ khi đạo hàm của nó là không âm. Khai thác chúng ta có thể tính toán (bằng cách phân biệt trong kỳ vọng) đạo hàm này là $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$ $(1)$

\frac{d}{d p} \log (E (X^{p})^{1 / p}) = - \frac{1}{p^{2}} \log E (X^{p}) + \frac{E (X^{p} \log X)}{E (X^{p})} = \frac{1}{p} E (X^{p} \log (X^{p})) .

$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$

Viết , phía bên tay phải là không âm khi và chỉ khi Nhưng đây là hậu quả tức thời của Bất đẳng thức của Jensen áp dụng cho hàm (liên tục trên các thực thể không âm và phân biệt trên các thực dương), bởi vì phân biệt hai lần cho thấy cho , trong đó là hàm lồi trên các thực không âm, cho năng suất $Y=X^p$

E (Y \log (Y)) \geq 0.

$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$

f (y) = y \log (y)

$f(y) = y\log(y)$

f^{''} (y) = \frac{1}{y} > 0

$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$

y > 0

$y\gt 0$

f

$f$

E (Y \log Y) = E (f (Y)) \geq f (E (Y)) = f (1) = 0,

$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$

QED .

Biên tập

Edward Nelson cung cấp một cuộc biểu tình ngắn gọn tuyệt vời. Là một vấn đề của ký hiệu (tiêu chuẩn), xác định cho (và ). Khi quan sát thấy hàm là lồi, anh ta áp dụng Bất đẳng thức của Jensen để kết luận $||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$ $1 \lt p \lt \infty$ $||x||_\infty = \sup |x|$ $f(x) = |x|^p$

| E (x) |^{p} \leq E (| x |^{p}) .

$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$

Đây là phần còn lại của cuộc biểu tình bằng lời nói của mình:

Áp dụng chođiều này mang lại và áp dụng cho , trong đó , điều này mang lại do đó là hàm tăng của trong . $|x|$
$| | x | |_{1} \leq | | x | |_{p},$ $||x||_1 \le ||x||_p,$ $|x|^r$ $1 \le r \lt \infty$ $| | x | |_{r} \leq | | x | |_{r p},$ $||x||_r \le ||x||_{rp},$ $||x||_p$ $p$ $1 \le p \le \infty$

Tài liệu tham khảo

Edward Nelson, Lý thuyết xác suất cơ bản cấp tiến. Nhà xuất bản Đại học Princeton (1987): p. 5.

— whuber
nguồn

Bạn có thể giải thích cho tôi cách bạn tính đạo hàm của

l o g (E (X^{p})^{\frac{1}{p}})

$log(E(X^p)^{\frac{1}{p}})$

— Dhamnekar Winod

Tôi đã sử dụng quy tắc sản phẩm, vìTôi phân biệt yếu tố thứ hai trong sản phẩm bằng cách phân biệt dưới dấu tích phân.

\log (E (X^{p})^{1 / p}) = \frac{1}{p} \log E (X^{p}) .

$\log\left(\mathbb{E}(X^p)^{1/p}\right)=\frac{1}{p}\ \log\mathbb{E}(X^p).$

— whuber

Làm thế nào bạn đến Bạn đã viết bạn chia X cho

E (X^{p}) = 1

$E(X^p)=1$

E (X^{p})^{\frac{1}{p}}

$E(X^p)^{\frac{1}{p}}$

— Dhamnekar Winod

Tại sao bạn không nhân thuật ngữ thứ hai trong đạo hàm của với

l o g (E (X^{p})^{(} \frac{1}{p})

$log(E(X^p)^(\frac{1}{p})$

\frac{1}{p}

$\frac1p$

— Dhamnekar Winod

Tôi đã làm: nó đã hủy bỏ một yếu tố khác của . Nhưng nó có quan trọng đối với kết quả không? Rốt cuộc, chúng ta chỉ cần biết dấu hiệu của đạo hàm.

p

$p$

— whuber