Tạo số ngẫu nhiên theo cách thủ công

Làm cách nào tôi có thể tự tạo một số ngẫu nhiên từ một phân phối nhất định, ví dụ: 10 nhận ra từ phân phối chuẩn thông thường?

Nếu "thủ công" bao gồm "cơ học" thì bạn có nhiều tùy chọn có sẵn cho mình. Để mô phỏng biến Bernoulli với một nửa xác suất, chúng ta có thể tung đồng xu: cho đuôi, 1 cho đầu. Để mô phỏng phân phối hình học, chúng ta có thể đếm xem cần bao nhiêu lần tung đồng xu trước khi chúng ta có được đầu. Để mô phỏng phân phối nhị thức, chúng ta có thể ném đồng xu n lần (hoặc đơn giản là ném n xu) và đếm số đầu. Các "quincunx" hoặc "máy đậu" hoặc "Galton hộp" là một lựa chọn động hơn - tại sao không thiết lập một thành hành động và xem cho chính mình ? Có vẻ như không có thứ gọi là "đồng xu có trọng lượng"$0$$1$$n$$n$nhưng nếu chúng ta muốn thay đổi tham số xác suất của biến Bernoulli hoặc nhị thức của chúng ta thành các giá trị khác , kim của Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon sẽ cho phép chúng ta làm như vậy. Để mô phỏng phân phối thống nhất rời rạc trên { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, chúng tôi cuộn một khuôn sáu mặt. Những người hâm mộ trò chơi nhập vai sẽ bắt gặp xúc xắc kỳ lạ hơn , ví dụ xúc xắc tứ diện để lấy mẫu đồng đều từ { 1 , 2 , 3 , 4 $p = 0.5$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$\{1,2,3,4\}$, trong khi với một bánh xe quay hoặc roulette người ta có thể đi xa hơn. ( Tín dụng hình ảnh )

Chúng ta sẽ phải điên lên để tạo ra các số ngẫu nhiên theo cách này ngày hôm nay, khi nó chỉ còn một lệnh trên bảng điều khiển máy tính - hoặc, nếu chúng ta có sẵn một bảng số ngẫu nhiên phù hợp, có thể chuyển sang các góc bụi hơn của giá sách không? Có lẽ, mặc dù có một cái gì đó dễ chịu xúc giác về một thí nghiệm vật lý. Nhưng đối với những người làm việc trước Thời đại Máy tính, thực sự trước các bảng số ngẫu nhiên quy mô lớn có sẵn rộng rãi (trong đó muộn hơn), việc mô phỏng các biến ngẫu nhiên theo cách thủ công có tầm quan trọng thực tế hơn. Khi Buffon điều tra nghịch lý St. Petersburg- trò chơi tung đồng xu nổi tiếng trong đó số tiền mà người chơi giành được tăng gấp đôi mỗi lần ném đầu, người chơi thua trên những cái đuôi đầu tiên và khoản thanh toán dự kiến ​​của họ là vô hạn theo trực giác - anh ta cần mô phỏng phân phối hình học với . Để làm như vậy, có vẻ như anh ta đã thuê một đứa trẻ tung đồng xu để mô phỏng 2048 lượt chơi của trò chơi St. Petersburg, ghi lại có bao nhiêu lần ném trước khi trò chơi kết thúc. Phân phối hình học mô phỏng này được sao chép trong Stigler (1991) :$p=0.5$

Tosses Frequency
1      1061
2      494
3      232
4      137
5      56
6      29
7      25
8      8
9      6

Trong cùng một bài tiểu luận nơi ông đã xuất bản cuộc điều tra thực nghiệm này về nghịch lý St. Petersburg, Buffon cũng giới thiệu " kim tiêm của Buffon " nổi tiếng . Nếu một chiếc máy bay được chia thành các dải bởi đường thẳng song song một khoảng cách ngoài, và một cây kim có độ dài l ≤ d được thả vào nó, xác suất kim đi qua một trong những dòng là 2 $d$$l \leq d$ .$\frac{2l}{\pi d}$

Do đó, kim của Buffon có thể được sử dụng để mô phỏng một biến ngẫu nhiên hoặcX∼nhị thức(n,2$X \sim \text{Bernoulli}(\frac{2l}{\pi d})$và chúng ta có thể điều chỉnh xác suất thành công bằng cách thay đổi độ dài của kim hoặc (có lẽ thuận tiện hơn) khoảng cách mà chúng ta cai trị các đường. Việc sử dụng thay thế kim của Buffon là một cách cực kỳ kém hiệu quả để tìm ra một xấp xỉ xác suất choπ. Hình ảnh (tín dụng) cho thấy 17 que diêm, trong đó có 11 đường chéo. Khi khoảng cách giữa các đường kẻ được đặt bằng với độ dài của que diêm, như ở đây, tỷ lệ dự kiến ​​của các que diêm là$X \sim \text{Binomial}(n,\frac{2l}{\pi d})$$\pi$ và do đó chúng ta có thể ước tính π như gấp đôi so với đối ứng của phân số quan sát: ở đây chúng tôi có được π =2⋅$\frac{2}{\pi}$$\hat \pi$. Năm 1901 Mario Lazzarini tuyên bố đã thực hiện các thí nghiệm sử dụng 2,5 cm kim với dòng 3 cm ngoài, và sau 3408 tung lấy π =$\hat \pi = 2 \cdot \frac{17}{11} \approx 3.1$ . Đây là một tỷ lệ hợp lý nổi tiếng đếnπ, chính xác đến sáu chữ số thập phân. Badger (1994) cung cấp bằng chứng thuyết phục rằng điều này là gian lận, nhất là phải tự tin 95% về sáu chữ số chính xác bằng cách sử dụng bộ máy của Lazzarini, phải ném 134 nghìn tỷ kim kiên nhẫn! Chắc chắn kim của Buffon hữu ích hơn khi tạo số ngẫu nhiên so với phương pháp ước tính sốπ.$\hat \pi = \frac{355}{113}$$\pi$$\pi$

Máy phát điện của chúng tôi cho đến nay đã rời rạc đáng thất vọng. Điều gì xảy ra nếu chúng ta muốn mô phỏng một phân phối bình thường? Một tùy chọn là lấy các chữ số ngẫu nhiên và sử dụng chúng để tạo các xấp xỉ rời rạc tốt cho phân phối đồng đều trên , sau đó thực hiện một số tính toán để biến chúng thành các độ lệch bình thường ngẫu nhiên. Một bánh xe quay hoặc roulette có thể cho các chữ số thập phân từ 0 đến 9; một con xúc xắc có thể tạo ra các chữ số nhị phân; nếu các kỹ năng số học của chúng ta có thể đối phó với một cơ sở hài hước hơn, ngay cả một bộ súc sắc tiêu chuẩn cũng sẽ làm được. Các câu trả lời khác đã đề cập đến cách tiếp cận dựa trên biến đổi này một cách chi tiết hơn; Tôi trì hoãn bất kỳ thảo luận thêm về nó cho đến cuối.$[0,1]$

Vào cuối thế kỷ XIX, tiện ích của phân phối bình thường đã được biết đến, và do đó, có những nhà thống kê muốn mô phỏng những sai lệch bình thường ngẫu nhiên. Không cần phải nói, tính toán tay dài sẽ không phù hợp ngoại trừ để thiết lập quy trình mô phỏng ở nơi đầu tiên. Khi đã được thiết lập, việc tạo ra các số ngẫu nhiên phải tương đối nhanh chóng và dễ dàng. Stigler (1991) liệt kê các phương pháp được sử dụng bởi ba nhà thống kê của thời đại này. Tất cả đều đang nghiên cứu các kỹ thuật làm mịn: các sai lệch bình thường ngẫu nhiên được quan tâm rõ ràng, ví dụ như để mô phỏng lỗi đo lường cần được làm mịn.

Nhà thống kê đáng chú ý người Mỹ Erastus Lyman De Forest đã quan tâm đến việc làm phẳng các bảng sống và gặp phải một vấn đề đòi hỏi phải mô phỏng các giá trị tuyệt đối của các độ lệch bình thường. Trong những gì sẽ chứng minh một chủ đề đang chạy, De Forest đã thực sự lấy mẫu từ một phân phối nửa bình thường . Ngoài ra, thay vì sử dụng độ lệch chuẩn là một ( mà chúng ta thường gọi là "tiêu chuẩn"), De Forest muốn có "lỗi có thể xảy ra" (độ lệch trung bình) của một. Đây là hình thức được đưa ra trong bảng "Xác suất lỗi" trong phần phụ lục của "Sách hướng dẫn thiên văn học hình cầu và thực tế, Tập II" của$Z \sim N(0, 1^2)$William Chauvenet . Từ bảng này, De Forest đã nội suy các lượng tử của phân phối nửa bình thường, từ đến p = 0,995 , mà anh ta coi là "lỗi có tần số bằng nhau".$p=0.005$$p=0.995$

Nếu bạn muốn mô phỏng phân phối bình thường, theo De Forest, bạn có thể in bảng này ra và cắt nó lên. De Forest (1876) đã viết rằng các lỗi "đã được ghi trên 100 bit của thẻ thẻ có kích thước bằng nhau, được lắc trong một hộp và tất cả được rút ra từng cái một".

Nhà thiên văn học và nhà khí tượng học Sir George Howard Darwin (con trai của nhà tự nhiên học Charles) đã tạo ra một vòng xoáy khác nhau trên mọi thứ, bằng cách phát triển cái mà ông gọi là "roulette" để tạo ra những sai lệch bình thường ngẫu nhiên. Darwin (1877) mô tả cách thức:

Một mảnh thẻ tròn đã được tốt nghiệp triệt để, do đó điểm tốt nghiệp là $x$độ xa so với bán kính cố định. Thẻ được tạo ra để xoay quanh tâm của nó gần với một chỉ số cố định. Sau đó, nó đã được quay một số lần và khi dừng nó, số đối diện với chỉ số đã được đọc. [Darwin thêm vào một chú thích: Tốt hơn là dừng đĩa khi nó quay quá nhanh đến mức tốt nghiệp là vô hình, thay vì để nó chạy theo tiến trình của nó.] Từ bản chất của việc tốt nghiệp, những con số thu được sẽ xảy ra chính xác giống như lỗi quan sát xảy ra trong thực tế; nhưng chúng không có dấu hiệu cộng hoặc trừ tiền tố. Sau đó, bằng cách tung ra một đồng xu nhiều lần và gọi đầu+và đuôi-, các dấu hiệu$\frac{720}{\sqrt \pi} \int_0^x e^{-x^2} dx$$+$$-$ hoặc - được gán ngẫu nhiên cho chuỗi lỗi này.$+$$-$

"Chỉ mục" nên được đọc ở đây là "con trỏ" hoặc "chỉ báo" (cf "ngón trỏ"). Stigler chỉ ra rằng Darwin, giống như De Forest, đang sử dụng phân phối tích lũy nửa bình thường xung quanh đĩa. Sau đó, sử dụng một đồng xu để đính kèm một dấu hiệu ngẫu nhiên cho thấy đây là một phân phối bình thường đầy đủ. Stigler lưu ý rằng không rõ quy mô đã được phân chia tốt như thế nào, nhưng giả sử hướng dẫn bắt giữ đĩa quay giữa chừng là "làm giảm sự thiên vị tiềm năng đối với một phần của đĩa và để tăng tốc thủ tục".

Sir Francis Galton , tình cờ là anh em họ cùng cha khác mẹ với Charles Darwin, đã được đề cập liên quan đến quincunx của ông. Trong khi điều này mô phỏng một cách cơ học một phân phối nhị thức, theo định lý De Moivreẩu Laplace mang một sự tương đồng đáng kinh ngạc với phân phối bình thường (và đôi khi được sử dụng như một trợ giúp giảng dạy cho chủ đề đó), Galton thực sự đã tạo ra một sơ đồ phức tạp hơn nhiều khi ông muốn mẫu từ một phân phối bình thường. Thậm chí còn phi thường hơn những ví dụ độc đáo ở đầu câu trả lời này, Galton đã phát triển xúc xắc phân phối bình thường- hay chính xác hơn là một bộ xúc xắc tạo ra một xấp xỉ rời rạc tuyệt vời cho một phân phối bình thường với độ lệch trung bình. Những con xúc xắc này, có từ năm 1890, được bảo quản trong Bộ sưu tập Galton tại Đại học College London.

Trong một bài viết năm 1890 trên tạp chí Nature Galton đã viết rằng:

Là một công cụ để chọn ngẫu nhiên, tôi đã tìm thấy không có gì vượt trội hơn xúc xắc. Điều tẻ nhạt nhất là xáo trộn các thẻ kỹ lưỡng giữa mỗi lần rút liên tiếp, và phương pháp trộn và khuấy các quả bóng được đánh dấu trong một chiếc túi vẫn còn tẻ nhạt hơn. Một teetotum hoặc một số hình thức roulette thích hợp hơn cho những thứ này, nhưng xúc xắc tốt hơn tất cả. Khi chúng bị rung lắc và ném vào một cái giỏ, chúng va chạm rất mạnh với nhau và chống lại xương sườn của công việc giỏ mà chúng lộn xộn, và vị trí của chúng ngay từ đầu không có khả năng nhận ra đầu mối nào đơn lắc tốt và quăng. Các cơ hội mà một người chết có thể khác nhau nhiều hơn so với thường được cho là; có 24 khả năng bằng nhau, và không chỉ 6, bởi vì mỗi mặt có bốn cạnh có thể được sử dụng, như tôi sẽ chỉ ra.

$+$$-$$1 \frac 1 4$

Phòng thí nghiệm thống kê toán học của Raazesh Sainudiin bao gồm một dự án sinh viên từ Đại học Canterbury, New Zealand, tái tạo xúc xắc của Galton . Dự án bao gồm điều tra theo kinh nghiệm từ việc gieo xúc xắc nhiều lần (bao gồm cả CDF theo kinh nghiệm có vẻ yên tâm "bình thường") và điều chỉnh điểm xúc xắc để chúng tuân theo phân phối chuẩn thông thường. Sử dụng điểm số ban đầu của Galton, cũng có một biểu đồ phân phối bình thường rời rạc mà điểm xúc xắc thực sự tuân theo.

Ở quy mô lớn, nếu bạn chuẩn bị kéo dài "cơ học" thành điện, hãy lưu ý rằng sử thi A Million Random Digits với 100.000 Deviates thông thường dựa trên một loại mô phỏng điện tử của bánh xe roulette. Từ báo cáo kỹ thuật (của George W. Brown, ban đầu là tháng 6 năm 1949), chúng tôi tìm thấy:

Do đó, động lực, người RAND, với sự hỗ trợ của nhân viên kỹ thuật của Công ty Máy bay Douglas, đã thiết kế một bánh xe điện roulette dựa trên một biến thể của một đề xuất được thực hiện bởi Cecil Hastings. Đối với mục đích của bài nói chuyện này, một mô tả ngắn gọn sẽ đủ. Một nguồn xung tần số ngẫu nhiên được kiểm soát bởi một xung tần số không đổi, khoảng một lần một giây, cung cấp trung bình khoảng 100.000 xung trong một giây. Các mạch tiêu chuẩn hóa xung đã truyền các xung tới bộ đếm nhị phân năm vị trí, do đó về nguyên tắc, máy giống như một bánh xe roulette với 32 vị trí, tạo ra trung bình khoảng 3000 vòng quay trên mỗi lượt. Chuyển đổi nhị phân sang thập phân đã được sử dụng, loại bỏ 12 trong số 32 vị trí và chữ số ngẫu nhiên thu được được đưa vào một cú đấm của IBM, mang lại các bảng thẻ đục lỗ có các chữ số ngẫu nhiên.

$\chi^2$các thử nghiệm về tần số của các chữ số lẻ và chẵn cho thấy một số lô có sự mất cân bằng nhẹ. Điều này tồi tệ hơn ở một số đợt so với các đợt khác, cho thấy rằng "máy đã ngừng hoạt động trong tháng kể từ khi được điều chỉnh ... Các dấu hiệu cho thấy máy này cần bảo trì quá mức để giữ cho nó ở trạng thái tốt nhất". Tuy nhiên, một cách thống kê để giải quyết các vấn đề này đã được tìm thấy:

Tại thời điểm này, chúng tôi đã có hàng triệu chữ số ban đầu của chúng tôi, 20.000 thẻ IBM với 50 chữ số cho một thẻ, với độ lệch nhỏ nhưng có thể nhận thấy được, được tiết lộ bởi phân tích thống kê. Bây giờ người ta đã quyết định viết lại bảng, hoặc ít nhất là thay đổi nó, bằng một roulette nhỏ chơi với nó, để loại bỏ sự thiên vị chẵn lẻ. Chúng tôi đã thêm (mod 10) các chữ số trong mỗi thẻ, chữ số theo chữ số, vào các chữ số tương ứng của thẻ trước đó. Bảng xuất phát gồm một triệu chữ số sau đó phải chịu các bài kiểm tra tiêu chuẩn khác nhau, kiểm tra tần số, kiểm tra nối tiếp, kiểm tra poker, v.v. Những triệu chữ số này có một hóa đơn sạch và đã được sử dụng làm bảng số ngẫu nhiên hiện đại của RAND.

Tất nhiên, có lý do chính đáng để tin rằng quá trình bổ sung sẽ làm một số điều tốt. Nói một cách tổng quát, cơ chế cơ bản là cách tiếp cận giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên modulo khoảng đơn vị trong phân bố hình chữ nhật, giống như cách tính tổng không giới hạn của các biến ngẫu nhiên tiếp cận quy tắc. Phương pháp này đã được sử dụng bởi Horton và Smith, thuộc Ủy ban thương mại liên bang, để có được một số lô tốt có số ngẫu nhiên rõ ràng từ các lô lớn hơn của các số không ngẫu nhiên xấu.

$[0,1]$$u$$[0,1]$$F$$F^{-1}(u)$

Tài liệu tham khảo

• Badger, L. (1994). " Xấp xỉ may mắn của Lazzarini là π ". Tạp chí toán học . Hiệp hội toán học của Mỹ. 67 (2): 83 bóng91.

• $(*)$

• Darwin, GH (1877). " Về các biện pháp có thể đo được của các đại lượng thay đổi và về việc xử lý các quan sát khí tượng. " Tạp chí Triết học , 4 (22), 1 Quay14

• Rừng De, EL (1876). Nội suy và điều chỉnh chuỗi . Tript, Morehouse và Taylor, New Haven, Conn.

• Galton, F. (1890). "Xúc xắc cho các thí nghiệm thống kê". Thiên nhiên , 42 , 13-14

• Stigler, SM (1991). "Mô phỏng ngẫu nhiên trong thế kỷ XIX". Khoa học thống kê , 6 (1), 89-97.

$(*)$"Bất kỳ ai xem xét các phương pháp tạo số ngẫu nhiên, tất nhiên, đều ở trạng thái tội lỗi. Vì, như đã được chỉ ra nhiều lần, không có thứ gọi là số ngẫu nhiên - chỉ có phương pháp để tạo ra số ngẫu nhiên và dĩ nhiên một quy trình số học nghiêm ngặt không phải là một phương pháp như vậy. "

Chẳng hạn, trên hệ điều hành Linux của tôi, tôi có thể kiểm tra

$ date +%s.%N
1479733744.077762986
$ date +%s.%N
1479733980.615056616

> sqrt(-2*log(.077762986))*cos(2*pi*.615056616)
[1] -1.694815

Phụ Lục: kể từ logarit tính và cosin có thể được coi là không thủ công đủ, có tồn tại một biến thể để Box-Müller rằng tránh sử dụng những chức năng siêu việt (xem bài tập 2,9 trong cuốn sách của chúng tôi Monte Carlo phương pháp thống kê ):

Bây giờ, người ta có thể tranh luận chống lại phiên bản này vì sự thay đổi theo cấp số nhân. Nhưng cũng tồn tại một cách rất thông minh để mô phỏng các biến thể đó mà không cần gọi các hàm siêu việt , do von Neumann, như được tóm tắt trong thuật toán này được sao chép từ Biến thể ngẫu nhiên không đồng nhất của Luc Devroye :

Phải thừa nhận rằng, nó yêu cầu tính toán 1 / e, nhưng chỉ một lần.

$(0,1)^2$$(0,1)$$(0,2\pi)$

Sử dụng CLT để tính gần đúng quy tắc chắc chắn không phải là một phương pháp mà tôi từng khuyên vì (1) bạn vẫn cần các biến thể khác để cung cấp trung bình, do đó, cũng có thể sử dụng đồng phục trong thuật toán Box-Müller và (2) độ chính xác tăng khá từ từ với số lượng mô phỏng. Đặc biệt là nếu sử dụng một biến ngẫu nhiên rời rạc như kết quả của một con xúc xắc, thậm chí với hơn sáu mặt . Để trích dẫn từ Thomas et al. (2007), một cuộc khảo sát về ưu và nhược điểm của các bộ tạo ngẫu nhiên Gaussian:

Tất nhiên, định lý giới hạn trung tâm là một ví dụ về một phương pháp xấp xỉ trực tiếp và ngay cả khi sử dụng số học hoàn hảo, đối với K hữu hạn, đầu ra sẽ không phải là Gaussian.

Đây là một thử nghiệm nhanh để minh họa vấn đề: Tôi đã tạo ra 100 lần trung bình 30 kết quả chết:

dies=apply(matrix(sample(1:6,30*100,rep=TRUE),ncol=30),1,mean)

sau đó bình thường hóa các giá trị trung bình thành trung bình bằng 0 - phương sai một biến thiên

stdies=(dies-3.5)/sqrt(35/12/30)

và xem xét sự phù hợp bình thường [hoặc thiếu nó] của mẫu này:

dies76/30122/30$D_i$

dies=matrix(apply(matrix(sample(0:5,15*200,rep=TRUE),nrow=15)/6^(1:15),2,sum),ncol=2) 
norma=sqrt(-2*log(dies[,1]))*c(cos(2*pi*dies[,2]),sin(2*pi*dies[,2]))

mức độ phù hợp như mong đợi đối với một mẫu Bình thường có kích thước 200 (chỉ cần vẽ một mẫu khác cho một mẫu bình thường thực sự norma=rnorm(100)):

như được thể hiện thêm bằng thử nghiệm Kolmogorov-Smirnov:

> ks.test(norma,pnorm)

        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  norma
D = 0.06439, p-value = 0.3783
alternative hypothesis: two-sided

Điều này không chính xác ngẫu nhiên, nhưng nó phải đủ gần, vì bạn dường như muốn một thử nghiệm thô.

Sử dụng điện thoại của bạn để thiết lập đồng hồ bấm giờ. Sau 10 giây, dừng lại (Bạn càng chờ đợi, bạn càng tiếp cận kết quả thực sự "ngẫu nhiên", nhưng 10 giây vẫn ổn). Lấy các chữ số cuối cùng (ví dụ: 10,67 giây sẽ cung cấp cho bạn 67). Áp dụng bảng phân vị cho phân phối bình thường. Trong ví dụ này, bạn chỉ cần tìm kiếm 0,67 và bạn sẽ tìm thấy số. Trong trường hợp này, giá trị của bạn là khoảng 0,45. Điều này không hoàn toàn chính xác, nhưng nó sẽ cho bạn một ước tính chắc chắn.

Nếu bạn cuộn dưới 50, chỉ cần thực hiện 100- [Kết quả của bạn] và sử dụng bảng. Kết quả của bạn sẽ giống nhau, với dấu trừ, do ký hiệu của N (0,1).

$n$$+1$$-1$$n$$\sqrt n$$n$$N (0,1)$

Tại sao? Để cho

$\mathbb P (X_k = \pm 1) = \frac 12$

$Y := X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

Bình thường hóa

chúng ta thu được một biến ngẫu nhiên với phương sai đơn vị

Điều đáng chú ý là một khi bạn có thể tạo đồng phục (0,1), bạn có thể tạo bất kỳ biến ngẫu nhiên nào mà cdf nghịch đảo có thể tính được bằng cách chỉ cần cắm biến ngẫu nhiên đồng nhất vào CDF nghịch đảo.

Vậy làm thế nào người ta có thể tính toán đồng phục (0,1) bằng tay? Chà, như được đề cập bởi @Silverfish, có rất nhiều loại xúc xắc được sử dụng bởi những người chơi RPG truyền thống. Một trong số đó là một cái chết mười mặt. Giả sử đây là một cái chết công bằng, bây giờ chúng ta có thể tạo ra một bộ đồng phục riêng biệt (0, 9).

$0.01, 0.02, ..., 0.99, 1.00$$0.001, 0.002, ..., 0.999, 1.000$

Vì vậy, chúng ta có thể tiến rất gần đến một bộ đồng phục liên tục (0,1) bằng cách xấp xỉ nó với phân bố đồng phục rời rạc mịn với một vài con xúc xắc 10 mặt. Điều này sau đó có thể được cắm vào một CDF nghịch đảo để tạo ra biến quan tâm ngẫu nhiên.