Giá trị kỳ vọng của tỷ lệ các biến ngẫu nhiên tương quan?

Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập và , có biểu thức dạng đóng cho $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

về các giá trị và phương sai dự kiến của và ? Nếu không, có một ràng buộc thấp hơn tốt về kỳ vọng đó? $\alpha$ $\beta$

Cập nhật: Tôi cũng có thể đề cập rằng và . Tôi có thể kiểm soát phương sai trên và và tôi có một cài đặt trong đó phương sai của cả và khá nhỏ so với . Có thể cả hai độ lệch chuẩn của chúng đều nhỏ hơn 0,3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
nguồn

Chắc là không. Bạn có các hình thức rõ ràng cho

α, β

$\alpha,\beta$ ?

— Alex R.

Thật không may, tôi không. Tôi chỉ có phương tiện và giới hạn trên về phương sai của họ. Bất kỳ suy nghĩ về một phân tích thấp hơn ràng buộc vào kỳ vọng? Nó luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Tôi nghĩ sẽ làm gì đó với sự bất bình đẳng của Ch Quashev nhưng tự hỏi liệu có cách nào tốt hơn không.

— Jeff

Bạn có biết phân phối chung của

và

? Ví dụ. Đa biến bình thường?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn

Không, tôi không thể cho rằng họ đa biến bình thường. Tôi chỉ có rằng họ là độc lập. Tôi hy vọng mỗi người sẽ bình thường, nhưng tôi không thể dựa vào điều đó. Tôi cần phải thực sự ràng buộc thấp hơn. Cảm ơn đã hỏi thăm!

— Jeff

Tôi nghĩ về một giới hạn thấp hơn, mặc dù tôi không nghĩ rằng nó rất chặt chẽ. Tôi chỉ cần chọn một giá trị tùy ý ít hơn giá trị trung bình của và một giá trị tùy ý xung quanh giá trị trung bình của . Kể từ khi kỳ vọng là một biến ngẫu nhiên không âm, và vì và là độc lập, $\alpha$ $\beta^2$ $\alpha$ $\beta$

. $\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$

Bởi sự bất bình đẳng của Ch Quashev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Bởi sự bất bình đẳng của Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Vì thế,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Là một cách tiêu chuẩn / có hệ thống hơn để làm những gì tôi đang làm ở đây, có bị ràng buộc chặt chẽ hơn không?

— Jeff
nguồn

Tôi không tin giới hạn dưới

. Như một ví dụ mẫu, hãy để

lấy giá trị

với xác suất

và

với xác suất

, vì vậy giá trị trung bình của nó là

. Hãy

được về cơ bản không (so với

). Sau đó,

0.28

$0.28$

α

$\alpha$

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$

1 - p

$1-p$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

β

$\beta$

| α |

$|\alpha|$

mất trên giá trị

với xác suất

và

với xác suất

, làm cho sự mong đợi của mình

. Chọn

cho thấy kỳ vọng chỉ bị giới hạn bởi

và đây là giới hạn dưới tốt nhất có thể.

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

1 - p

$1-p$

1 - 2 p

$1-2p$

p \approx 1

$p\approx 1$

- 1

$-1$

— whuber

@whuber - Khi

chuyển sang 1, không phải phương sai của

trong ví dụ mẫu của bạn sẽ chuyển sang vô cùng? Nhưng trong câu hỏi, phương sai của cả

và

được bao bọc bởi

. Xin lỗi vì đã không viết rõ ràng hơn trong câu hỏi.

p

$p$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

β

$\beta$

0.3

$0.3$

— Jeff

Tôi đã nhận thấy một khiếm khuyết trong câu trả lời của tôi: tôi cho rằng

nhưng đó là sai. Thay

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$

, khi bạn lưu ý. Tôi tự hỏi nếu câu trả lời có thể được vá lên.

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$

— Jeff

Bạn có thể đạt được một infimum của

khi phương sai của

là

. Làm điều này bằng cách làm cho

hệt zero và để

đảm nhận hai giá trị: một là vô cùng nhỏ nhưng tiêu cực, với xác suất

; giá trị còn lại là

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$

α

$\alpha$

σ^{2}

$\sigma^2$

β

$\beta$

α

$\alpha$

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$

— whuber

Tôi nghĩ rằng giải quyết vấn đề của tôi. Thabks nhiều. Bạn sẽ đăng nó như một câu trả lời để tôi có thể chấp nhận nó?

— Jeff