Ai đó có thể đưa ra một ví dụ về phân phối không chính thống có độ lệch bằng 0 nhưng không đối xứng?

Vào tháng 5 năm 2010, người dùng Wikipedia Mcorazao đã thêm một câu vào bài viết sai lệch rằng "Giá trị 0 chỉ ra rằng các giá trị được phân phối tương đối đồng đều trên cả hai mặt của giá trị trung bình, thông thường nhưng không nhất thiết có nghĩa là phân phối đối xứng." Tuy nhiên, trang wiki không có ví dụ thực tế về phân phối phá vỡ quy tắc này. Googling "phân phối bất đối xứng ví dụ với độ lệch bằng không" cũng không đưa ra ví dụ thực tế nào, ít nhất là trong 20 kết quả đầu tiên.

Sử dụng định nghĩa độ nghiêng được tính bởi và R công thức$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Tôi có thể xây dựng một phân phối nhỏ, tùy ý để làm cho độ lệch thấp. Ví dụ: phân phối

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

mang lại độ lệch . Nhưng đây là một mẫu nhỏ và hơn nữa độ lệch so với đối xứng là không lớn. Vì vậy, có thể xây dựng một phân phối lớn hơn với một đỉnh rất bất đối xứng nhưng vẫn có độ lệch gần bằng không?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Xem xét phân phối rời rạc. Một giá trị được hỗ trợ trên giá trị được xác định bởi xác suất không âm tuân theo các điều kiện (a) chúng tổng hợp thành 1 và (b) hệ số độ lệch bằng 0 (tương đương với thời điểm trung tâm thứ ba bằng không). Điều đó để lại độ tự do (theo nghĩa giải phương trình, không phải là thống kê!). Chúng ta có thể hy vọng tìm ra giải pháp không chính thống.x 1 , x 2 , Hoài , x k p 1 , p 2 , Góc , p k k - $k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Để làm cho việc tìm kiếm các ví dụ dễ dàng hơn, tôi đã tìm các giải pháp được hỗ trợ trên một vectơ đối xứng nhỏ với chế độ duy nhất ở mức , không có nghĩa và độ lệch bằng không. Một giải pháp như vậy là .0 ( p 1 , ... , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47.386 , 8781 , 3930 , 1235 ) /$\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Bạn có thể thấy nó không đối xứng.

Đây là một giải pháp bất đối xứng rõ ràng hơn với (không đối xứng) và :p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) /$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Bây giờ rõ ràng điều gì đang xảy ra: vì giá trị trung bình bằng , các giá trị âm đóng góp và đến giây thứ ba trong khi các giá trị dương đóng góp và , cân bằng chính xác các đóng góp tiêu cực. Chúng ta có thể có phân phối đối xứng khoảng , chẳng hạn như với và thay đổi khối lượng nhỏ từ đến , một khối lượng nhỏ từ xuống và một khối lượng nhỏ xuống( - 3 ) 3 = - 27 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 4 × 2 3 = 32 13 × 1 3 = 13 0 x = ( - 1 , 0 , 1 ) p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 + 1 + 2 + 1 - $0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$0 $-3$, giữ giá trị trung bình ở mức và độ lệch là , đồng thời tạo ra sự bất đối xứng. Cách tiếp cận tương tự sẽ hoạt động để duy trì giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch của phân phối liên tục trong khi làm cho nó không đối xứng; nếu chúng ta không quá tích cực với sự thay đổi hàng loạt, nó sẽ vẫn không bình thường.$0$$0$

Chỉnh sửa: Phân phối liên tục

Bởi vì vấn đề liên tục xuất hiện, chúng ta hãy đưa ra một ví dụ rõ ràng với các bản phân phối liên tục. Peter Flom đã có một ý tưởng tốt: nhìn vào hỗn hợp của các quy tắc. Một hỗn hợp của hai quy tắc sẽ không làm: khi độ lệch của nó biến mất, nó sẽ đối xứng. Trường hợp đơn giản tiếp theo là một hỗn hợp của ba quy tắc.

Hỗn hợp của ba quy tắc, sau khi lựa chọn vị trí và tỷ lệ thích hợp, phụ thuộc vào sáu tham số thực và do đó cần có đủ độ linh hoạt để tạo ra một giải pháp độ lệch không đối xứng, không đối xứng. Để tìm một số, chúng ta cần biết cách tính độ lệch của hỗn hợp các quy tắc. Trong số này, chúng tôi sẽ tìm kiếm bất kỳ cái gì không chính thống (có thể là không có).

Bây giờ, nói chung, thời điểm (không phải trung tâm) của phân phối chuẩn thông thường bằng 0 khi là số lẻ và nếu không bằng . Khi chúng tôi hủy bỏ phân phối chuẩn thông thường để có độ lệch chuẩn là , thời điểm được nhân với . Khi chúng tôi thay đổi bất kỳ phân phối nào theo , khoảnh khắc có thể được biểu thị theo các khoảnh khắc lên đến và bao gồm$r^\text{th}$$r$ σrthứσ$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$. Khoảnh khắc của một hỗn hợp phân phối (nghĩa là trung bình có trọng số của chúng) là trung bình có trọng số tương tự của các khoảnh khắc riêng lẻ. Cuối cùng, độ lệch bằng 0 chính xác khi khoảnh khắc trung tâm thứ ba bằng 0 và điều này dễ dàng được tính theo ba thời điểm đầu tiên.

Điều này cho chúng ta một cuộc tấn công đại số vào vấn đề. Một giải pháp tôi tìm thấy là một hỗn hợp bằng nhau của ba quy tắc với các tham số bằng , và . Giá trị trung bình của nó bằng . Hình ảnh này cho thấy pdf có màu xanh lam và pdf của bản phân phối lật về ý nghĩa của nó bằng màu đỏ. Rằng họ khác nhau cho thấy cả hai đều không đối xứng. (Chế độ xấp xỉ , không bằng giá trị trung bình của .) Cả hai đều có độ lệch bằng không khi xây dựng .$(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$(0+1/2+0$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$1 /$0.0519216$$1/6$

Các lô cho thấy đây là không chính thống. (Bạn có thể kiểm tra bằng tính toán để tìm cực đại cục bộ.)

Đây là một cái tôi tìm thấy tại https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/probols-skewness-and-kurtosis-part-one.html# mà tôi thấy đẹp và được sao chép trong R: một Burr nghịch đảo hoặc phân phối Dagum với các tham số hình dạng và c = 18.1484 :$k=0.0629$$c=18.1484$

Nó có nghĩa là 0,5387, độ lệch chuẩn 0,907, độ lệch 0,0000 và kurtosis 2,0000. Nguồn này cũng gọi đó là "phân phối voi":

Bản sao của tôi trong R được tạo ra với

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

Như đầu ra này cho thấy, độ lệch không hoàn toàn từ 0 đến 4 chữ số cho các giá trị tham số này. Đây là một trình tối ưu hóa nhỏ cho và c :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

năng suất

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Xem xét phân phối trên nửa dương của dòng thực tăng tuyến tính từ 0 đến chế độ và sau đó theo cấp số nhân ở bên phải của chế độ, nhưng liên tục ở chế độ.

Điều này có thể được gọi là phân bố theo cấp số mũ (mặc dù nó thường trông hơi giống vây cá mập).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Các phân phối không bình thường với độ lệch bằng không và độ nhiễu quá mức? có một số ví dụ không đối xứng, bao gồm một ví dụ nhỏ rời rạc và một ví dụ khác không liên tục:

Các bản phân phối không theo phương thức riêng biệt - hoặc tương đương, các mẫu - với độ lệch bằng 0 khá dễ dàng để xây dựng, có kích thước lớn hoặc nhỏ.

Dưới đây là một ví dụ, bạn có thể coi là một mẫu hoặc (bằng cách chia tần số thô cho 3000) là một pmf (các giá trị 'x' là các giá trị được lấy, 'n' là số lần giá trị đó xảy ra trong mẫu ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Ví dụ này được xây dựng từ các bản phân phối 3 điểm:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

Có tất cả cách thức của các "nguyên tử" khác mà người ta có thể xây dựng, nhưng ví dụ này chỉ sử dụng loại này. Đối với một số kết hợp các nguyên tử như vậy, chúng được thêm vào một vài giá trị được đặt đối xứng để điền vào các lỗ còn lại và đảm bảo tính không đồng nhất mà không phá hủy cấu trúc của thời điểm trung bình và giây.

$[1]$

$[2]$

Chắc chắn rồi. Thử đi:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Bạn đã làm những thứ khó khăn rồi!)

Bây giờ, với giá trị trung bình và phương sai đã cho, chọn bất kỳ hai phân phối $Y$ và $Z$ với khối lượng bằng không ở phía bên phải của $\mu$ và

Phân phối kết quả sẽ không chính thống nếu các tệp PDF của $Y$ và $Z$ đang gia tăng ở bên trái của $\mu$ (ngoài số 0 ở bên phải của $\mu$).

Phân phối rời rạc sau đây là không đối xứng và có độ lệch null: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Tôi tìm thấy nó trong bài báo của Doric và cộng sự, Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9