Hai biến ngẫu nhiên có thể có cùng phân phối, nhưng gần như chắc chắn khác nhau?

Có thể là hai biến ngẫu nhiên có cùng phân phối và chúng gần như chắc chắn khác nhau?

Hãy và xác định Y = - X . Dễ dàng chứng minh rằng Y ∼ N ( 0 , 1 ) .$X\sim N(0,1)$$Y=-X$$Y\sim N(0,1)$

Nhưng

Do đó, và Y khác nhau với xác suất một.$X$$Y$

Bất kỳ cặp biến ngẫu nhiên và Y độc lập nào có cùng phân phối liên tục đều cung cấp một ví dụ mẫu.$X$$Y$

Trong thực tế, hai biến ngẫu nhiên có cùng phân phối thậm chí không nhất thiết được xác định trên cùng một không gian xác suất, do đó câu hỏi không có ý nghĩa chung.

Chỉ cần xem xét và Y ( x ) = 1 - x với x ∈ [ 0 , 1 ] với số đo Borel hoặc Lebesgue. Đối với cả xác suất tích lũy là F ( x ) = x và phân phối xác suất là f ( x ) = 1 . Đối với tổng X + Y , phân phối là một khối đơn vị Dirac tại x = 1 .$X(x)=x$$Y(x)=1-x$$x \in [0,1]$$F(x)=x$$f(x)=1$$X+Y$$x=1$