Có gì sai với nghị quyết này đối với Nghịch lý St Petersburg?

Chúng tôi có một trò chơi trong đó khoản thanh toán của bạn là trong đó là số lần bạn lật một đồng xu để đáp xuống đầu (nếu lần lật đầu tiên của bạn là một cái đầu, thì ). Thì khoản thanh toán dự kiến ​​là:$2^k$k = 1 E = $k$$k=1$E=1+1+1+. . . E=

Tôi nên trả bao nhiêu để chơi game này?

Chúng ta biết từ phân phối hình học, số lượng xu dự kiến ​​tôi sẽ lật cho đến khi nhận được đầu là:

Vì vậy, tôi sẽ trả bất cứ thứ gì dưới với : k = $2^k$$k=2$

tức là <4 đô la

https://en.wikipedia.org/wiki/St._Peterburg_paradox để tham khảo

• Đặt là một số biến ngẫu nhiên.$K$

  • Trong vấn đề của bạn, là số lần bạn lật trước khi nhận được đầu.$K$

• Đặt là một số hàm hoàn trả.$f(k)$

  • Trong bài toán của bạn .$f(k) = 2^k$

• Đặt là tiền thưởng$f(K)$

Bạn đang nói rằng một định giá hợp lý của canh bạc được đưa ra bởi . Đây là một heuristic hoàn toàn phi thường, khá bất hợp pháp. Có lẽ tốt trong một số tình huống (ví dụ: trong đó nhỏ và gần tuyến tính), nhưng thật dễ dàng để xây dựng một ví dụ trong đó nó gợi ý một cái gì đó không nhạy cảm.f ( E [ K ] ) K $f(K)$$f(\mathrm{E[}K])$$K$$f$

Ví dụ trong đó hệ thống của bạn hoàn toàn không có ý nghĩa

Đặt là một kết quả rút ra từ phân phối bình thường và để hàm thanh toán là . Hệ thống của bạn nói rằng tôi không nên trả nhiều hơn cho trò đánh bạc này vì . Nhưng bạn không nên gán một số giá trị tích cực cho canh bạc này sao?! Có xác suất 100% số tiền chi trả lớn hơn 0!N ( 0 , 10000000000000 ) f ( K ) = K 2 0 f ( E [ K ] ) = 0 2 = $K$$\mathcal{N}(0,10000000000000)$$f(K) = K^2$$0$$f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$

Một nghị quyết cổ điển hơn về Nghịch lý St. Petersburg

Một cách tiếp cận là thêm ác cảm rủi ro. Nếu bạn đủ nguy cơ không thích, những gì bạn sẵn sàng trả để chơi trò đánh bạc kỳ vọng vô hạn này sẽ là hữu hạn. Nếu bạn chấp nhận các tiên đề Von Neumann-Morgernstern , thì sự chắc chắn tương đương với việc chơi trò chơi được đưa ra bởi trong đó:$z$

và trong đó là sự giàu có của bạn và là một hàm lõm (trong thuật ngữ, hàm tiện ích Bernoulli) nắm bắt mức độ ác cảm rủi ro của bạn. Nếu đủ lõm, việc định giá sẽ là hữu hạn.u u 2 $w$$u$$u$$2^K$

Hàm tiện ích Bernoulli với một số thuộc tính đẹp hóa ra là . Tối đa hóa tiện ích dự kiến trong đó chức năng tiện ích Bernoulli là nhật ký của cải của bạn tương đương với tối đa hóa tốc độ tăng trưởng dự kiến ​​của cải của bạn. Đối với đặt cược nhị phân đơn giản, điều này mang lại cho bạn cá cược Kelly Criterion .$u(x) = \log(x)$

Một điểm quan trọng khác là cách tiếp cận ác cảm rủi ro dẫn đến sự tương đương chắc chắn khác nhau tùy thuộc vào khía cạnh của trò đánh bạc mà bạn đang tham gia.

Không có gì sai với giải pháp được đề xuất.

Trong nghịch lý ban đầu, chúng tôi xem xét giá trị kỳ vọng (trung bình) của lợi nhuận là vô hạn và do đó bạn nên đặt cọc một số tiền vô hạn. Tuy nhiên, sau lần tung đồng xu đầu tiên, có 50% khả năng bạn đã mất tiền và đó là lý do tại sao mọi người không thích nó. Nghị quyết của bạn chỉ chính thức hóa điều này, thay vì nhìn vào lợi nhuận trung bình bạn đang nhìn vào lợi nhuận trung bình. Không giống như lợi nhuận trung bình, lợi nhuận trung bình là hữu hạn và nghịch lý biến mất.

Nếu tôi hiểu chính xác, phân tích của bạn là:

1. Tính toán số lần lật đồng xu dự kiến ​​cần thiết để có được một cái đầu.
2. Tính toán khoản thanh toán cho kết quả mà bạn nhận được chính xác số lượng dự kiến.
3. Giá trị trò chơi bằng với khoản xuất chi đó.

... OK, chúng ta hãy sửa đổi trò chơi đó một chút. Giống như phiên bản gốc, tôi sẽ lật một đồng xu và tiếp tục lật cho đến khi tôi ném đầu. Chỉ các khoản thanh toán đã thay đổi:

• Nếu tôi lật đầu trong lần ném thứ hai, bạn sẽ nhận được bốn đô la.
• Trên bất kỳ kết quả nào khác, bạn mất tất cả mọi thứ bạn sở hữu và phải đến làm việc cho tôi mãi mãi, miễn phí.

Có bao nhiêu đồng tiền chúng ta dự kiến ​​sẽ lật trước khi chúng ta có được một cái đầu? 2, giống hệt như trước đây.

Khoản thanh toán cho kết quả mà chúng ta lật hai đồng xu để có được một cái đầu là gì? $ 4,00, chính xác như trước đây.

Bạn sẵn sàng trả bao nhiêu cho 'đặc quyền' khi trả trò chơi này có 75% cơ hội phá sản cho bạn và 25% cơ hội trả lại $ 4,00?

Tôi nghi ngờ câu trả lời không phải là "lên đến bốn đô la, giống hệt như trước đây". Điều đó có nghĩa là có một lỗ hổng trong logic của bạn.

Nhìn ở góc độ rộng hơn, tiền thắng dự kiến ​​không nhất thiết phải đủ thông tin để trả lời loại câu hỏi này; thông thường nó phụ thuộc vào một số bối cảnh bổ sung. Đây có phải là cơ hội một lần hay bạn đang mong đợi được cung cấp trò đánh bạc này nhiều lần? Bạn có bao nhiêu tiền trong tay? Và bạn cần bao nhiêu tiền để hạnh phúc?

Ví dụ: nếu tổng tài sản của tôi là 100 đô la nhưng tôi rất cần một triệu đô la cho hoạt động cứu sinh, tôi sẽ sẵn sàng trả tất cả số tiền của mình cho một lần đánh bạc tại St. Nó chỉ mang lại cho tôi cơ hội 1/2 ^ 19 để giành được số tiền tôi cần, nhưng nếu tôi không chơi thì tôi không có cơ hội nào cả.

Mặt khác, nếu tổng tài sản của tôi là 1000.000 đô la và tôi cần chính xác một triệu đô la cho hoạt động đó, phần lớn tôi sẵn sàng trả cho một trò chơi là hai đô la (mà tôi đảm bảo sẽ giành lại) . Bất cứ điều gì hơn thế, và tôi có 1/2 cơ hội kết thúc với số tiền hàng triệu đô la tôi cần để cứu mạng tôi.

Nếu tôi hy vọng sẽ có nhiều cơ hội để chơi những trò chơi như vậy, thì có lẽ tôi muốn chọn một chiến lược mang lại cho tôi khả năng cao có nhiều tiền vào cuối tất cả các trò chơi đó. Ví dụ:

Game A được đảm bảo tăng 10% tài sản của tôi mỗi khi tôi chơi nó. (Dự kiến ​​chiến thắng: + 10% tài sản hiện tại của tôi.) Trò chơi B có 90% cơ hội nhân đôi tài sản của tôi và 10% cơ hội phá sản tôi. (Dự kiến ​​chiến thắng: + 70% tài sản hiện tại của tôi.) [Chỉnh sửa: thực sự + 80% vì tôi thất bại ở số học cơ bản, nhưng đối số vẫn giữ.]

Nếu tôi chơi 100 lần lặp lại của Trò chơi A, tôi chắc chắn sẽ nhân số tài sản của mình lên 13.780 lần.

Nếu tôi chơi 100 lần lặp lại trò chơi B, tôi có 0,0027% cơ hội trở nên giàu có không tưởng (khoảng 10 ^ 30 x những gì tôi bắt đầu) ... và 99,73% cơ hội bị phá sản. Mặc dù mức trung bình tốt hơn so với Game A, nhưng đó không phải là một lựa chọn tốt.

Đối với loại trò chơi được lặp đi lặp lại này, thay vì cố gắng tối đa hóa số tiền thắng dự kiến ​​của mình trong mỗi trò chơi, tốt hơn hết là bạn nên cố gắng tối đa hóa giá trị kỳ vọng của ln (tổng tài sản sau trò chơi / tổng tài sản trước trò chơi). Điều này đảm bảo tăng trưởng dài hạn mà không bị xóa sổ.

Nếu số tiền đặt cược cho mỗi trò chơi là nhỏ so với tổng tài sản của tôi, thì điều này gần tương đương với tối đa hóa số tiền thắng dự kiến ​​trong mỗi trò chơi.

Vì vậy, nếu bạn đang chơi nhiều trò chơi và không bao giờ mạo hiểm một phần lớn tài sản hiện tại của bạn, thì giá trị kỳ vọng của trò đánh bạc cho bạn biết tất cả những gì bạn cần biết. Trong bất kỳ tình huống nào khác, bạn cũng cần phải nghĩ về những thứ khác.