Chứng minh rằng phân phối đối xứng bằng các khoảnh khắc

7

Cho trước, một biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình, phương sai và trung tâm thứ tư lần lượt là 0, 2 và 4. Bây giờ, làm thế nào để tôi chứng minh rằng

(1) khoảnh khắc thứ ba là 0

(2) phân phối đối xứng về 0 và

(3) X bị chặn.

Với thông tin trên, điều duy nhất tôi có thể tìm thấy là bản phân phối rất thú vị. Ngay cả khi nó được chứng minh rằng khoảnh khắc thứ ba bằng không, làm thế nào điều này có thể dẫn đến sự đối xứng. Không thể đối xứng chỉ được chứng minh bằng cách vẽ dữ liệu?

Có một sai lầm trong câu hỏi?

self-study moments symmetry

— Harry
nguồn

1

Tôi biết chỉ có một bản phân phối, theo vị trí và quy mô, có những khoảnh khắc đó: một Bernoulli . Lưu ý rằng kurtosis của nó là (kurtosis dư thừa của nó là ). Do đó, bạn có thể cố gắng chỉ ra rằng không có phân phối nào khác với những khoảnh khắc này.

(1 / 2)

$(1/2)$

1

$1$

- 2

$-2$

— whuber

7

Có một thực tế là hàm

ϕ_{Y} : n \to E (| Y |^{n})^{1 / n}, n > 0

$\phi_Y: n \to \mathbb{E}(|Y|^n)^{1/n},\ n \gt 0$

(được gọi là định mức của ) không tăng. Trình diễn tại https://stats.stackexchange.com/a/244221 sử dụng Bất đẳng thức của Jensen (như được áp dụng cho hàm lồi nghiêm ngặt). Bất đẳng thức đó là bất đẳng thức nghiêm ngặt bất cứ khi nàocó thể đảm nhận nhiều hơn một giá trị với xác suất dương. $L_n$ $Y$ $|Y|$

Đặt là phiên bản trung tâm của , từ các giá trị đã cho của phương sai và khoảnh khắc thứ tư (trung tâm) mà chúng ta suy ra $Y=X - \bar X$ $X$

E (| Y |^{4})^{1 / 4} = 4^{1 / 4} = \sqrt{2} = Var (X)^{1 / 2} = E (| Y |^{2})^{1 / 2},

$\mathbb{E}(|Y|^4)^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} = \operatorname{Var}(X)^{1/2} = \mathbb{E}(|Y|^2)^{1/2},$

hiển thị . Do đó, vì không giảm,gần như chắc chắn là hằng số, từ đó có thể đảm nhận tối đa hai giá trị riêng biệt (gần như chắc chắn). Ngay lập tức, nhận từng giá trị trong số đó với xác suất bằng nhau: đó là phải là phiên bản thay đổi của biến Bernoulli đã được chia tỷ lệ bởi . $\phi_Y(4) = \phi_Y(2)$ $\phi$ $|Y|$ $X$ $\bar X \pm \sqrt{2}$ $X$ $X$ $(1/2)$ $\sqrt{8}$

Việc trình diễn (1) (không có giây thứ ba), (2) (đối xứng khoảng ) và (3) (giới hạn) bây giờ là tầm thường. $0$

Lưu ý rằng các kết luận tương tự có thể được rút ra bất cứ khi nào có hai khoảnh khắc mà . $k \ne n$ $\phi_Y(k)=\phi_Y(n)$

— whuber
nguồn

Trong câu trả lời của bạn tôi nghĩ bạn có nghĩa là bất bình đẳng nghiêm ngặt khi đề cập đến bất bình đẳng của Jensen. Ngoài ra còn có một điều kiện là hàm lồi hoặc lõm.

— Michael R. Chernick

@Michael Cảm ơn bạn; thực sự tôi có nghĩa là "bất bình đẳng." Hàm trong câu hỏi là hoàn toàn lồi, như được thể hiện trong luồng được liên kết.

y \log (y)

$y\log(y)$

— whuber

2

Đây là một cách tiếp cận. Câu trả lời này , có thể là , và hy vọng . $a$ $b$ $c$

Tóm tắt những gì chúng ta biết: , và . Đặt . Các khoảnh khắc của bất kỳ phân phối xác suất nào cũng phải thỏa mãn tính xác định dương , theo nghĩa là mọi ma trận phụ thích hợp của Ma trận khoảnh khắc Hankel đều xác định dương: $E[X]=0$ $E[X^2]=\mbox{Var}(X)=2$ $E[X^4]=4$ $m_i:=E[X^i]$ $n\times n$

H := (\begin{matrix} m_{0} & m_{1} & m_{2} & \dots \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} & \dots \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

$H:=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$ .

Chọn cho chúng ta: $n=3$

H_{4} = (\begin{matrix} m_{0} & m_{1} & m_{2} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_{3} \\ 2 & m_{3} & 4 \end{matrix}),

$H_4=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ m_2 & m_3 & m_4 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_3 \\ 2 & m_3 & 4 \\ \end{matrix}\right),$

và tính toán nhanh tay cho: . Vì phải có giá trị dương xác định, theo sau đó . $\mbox{det}(H_4)=-m_3^2$ $H_4$ $m_3=0$

Để chỉ ra rằng đối xứng về 0, điều đó đủ cho thấy rằng tất cả các khoảnh khắc lẻ đều bằng không. Tôi tin rằng bạn có thể thể hiện điều này bằng cách cảm ứng trên các ma trận con Hankel. $X$

Để chỉ ra rằng bị ràng buộc, ý tưởng tôi có là tương đương như sau: $X$

P (| X | \leq R) = 1 \Leftrightarrow E [| X |^{k}] \leq R^{k}, k = 1, 2, \dots .

$P(|X|\leq R)=1 \Leftrightarrow E[|X|^k]\leq R^k, k=1,2,\cdots .$

Có lẽ bạn có thể cho thấy điều này từ ma trận Hankel?

— Alex R.
nguồn