Một chuỗi thời gian đứng yên là gì? Một số ví dụ là gì?

Trong lớp kinh tế lượng của tôi, giáo viên của tôi đã định nghĩa một chuỗi thời gian đứng yên, do đó: "Nói một cách lỏng lẻo, một chuỗi thời gian là ổn định nếu các thuộc tính stochasitc của nó và cấu trúc phụ thuộc thời gian của nó không thay đổi theo thời gian." Tôi bối rối không biết một số ví dụ sẽ là gì. Nhiệt độ trong suốt nhiều năm sẽ đứng yên, cho rằng không có xu hướng nào? Có phải văn phòng phẩm có nghĩa là chuyển động duy nhất trong dữ liệu được quy cho tiếng ồn trắng ngẫu nhiên? Một số ví dụ là gì? Tôi thua lỗ chẳng hạn.

Có lẽ một ví dụ đơn giản từ tài chính có thể giúp trực giác. Đặt $R_t$ là lãi suất cho giai đoạn $t$ (lưu ý đây là biến ngẫu nhiên).

Nhiều mô hình lãi suất (ví dụ: Vasicek hoặc Cox-Ingersoll-Ross ) ngụ ý tỷ lệ này là quá trình ổn định. Nếu bạn kiếm được lãi suất mỗi kỳ và bắt đầu bằng đô la, thì số lượng đô la bạn có tại thời điểm được đưa ra bởi:$R_t$$V_0$$t$

Quá trình KHÔNG dừng. Không có ý nghĩa hay phương sai vô điều kiện.$\left\{ V_t \right\}$

Các ví dụ khác từ econ và tài chính:

• Đặt là tổng sản lượng (tức là GDP) của nền kinh tế tại thời điểm .$Y_t$$t$

  • $y_t = \log(Y_t)$ gần như chắc chắn không phải là một quá trình đứng yên.
  • Sự tăng trưởng trong sản lượng nhật ký (tức là ) thường được coi là một quá trình đứng yên$y_t - y_{t-1}$

• Đặt là giá của danh mục đầu tư thị trường tổng thể.$S_t$

  • $s_t = \log(S_t)$ gần như chắc chắn không phải là một quá trình đứng yên.
  • Nhật ký trả lại của danh mục đầu tư thị trường thường được coi là một quy trình ổn định.$r_t = s_t - s_{t-1}$

Một bước đi ngẫu nhiên hoặc một quá trình Wiener (tương tự thời gian liên tục với một bước đi ngẫu nhiên) là những ví dụ điển hình của các quá trình không cố định. Mặt khác, gia số của bước đi ngẫu nhiên hoặc quá trình Wiener là các quá trình đứng yên.

Nhiệt độ

Như @kjetil chỉ ra, nhiệt độ không phải là một quá trình đứng yên. Ví dụ, phân phối theo nhiệt độ trong tháng 1 không giống như phân phối theo nhiệt độ trong tháng 6. Sự phân phối chung thay đổi khi thay đổi trong thời gian.

Mặt khác, hãy để là một vectơ 12 trong 1 cho năm trong đó mỗi mục của vectơ biểu thị nhiệt độ trung bình trong một tháng. Bạn có thể lập luận rằng là một quá trình đứng yên.$\mathbf{y}_t$$t$$\mathbf{y}_t$

- Cập nhật Như @ ngôi sao sáng chỉ ra trong các bình luận, đây là ý tưởng cơ bản đằng sau tính chu kỳ . Nhiệt độ vào một ngày cụ thể vì thay đổi theo năm có thể là một quá trình đứng yên.$t$

Vết đen

Một trong những mô hình chuỗi thời gian đầu tiên được phát triển bởi Yule và Walker để mô hình hóa chu kỳ vết đen mặt trời 11 năm.

Đặt là số lượng vết đen trong năm . Họ đã mô hình hóa số lượng vết đen trong một năm dưới dạng quá trình đứng yên bằng mô hình AR (2) :$y_t$$t$

Một quy trình đứng yên có thể có các mẫu, chu kỳ, v.v ...

Hãy nhận biết hai định nghĩa phổ biến về văn phòng phẩm.

Hơi lỏng lẻo:

• Một quá trình là ổn định nếu phân phối chung là bất biến thời gian.
• Một quá trình là hiệp phương sai nếu kỳ vọng vô điều kiện và chế độ tự trị tồn tại và không thay đổi theo thời gian.

(Có lẽ là một nhận xét mơ hồ, kỹ thuật, nhưng văn phòng phẩm nghiêm ngặt không bao hàm sự cố định hiệp phương sai và văn phòng hiệp phương sai không bao hàm sự nghiêm khắc nghiêm ngặt.)

Phân phối của một quá trình đứng yên không thay đổi theo thời gian. Một ví dụ trực quan: bạn lật một đồng xu. 50% người đứng đầu, bất kể bạn lật nó hôm nay hay ngày mai hay năm sau.

Một ví dụ phức tạp hơn: theo giả thuyết thị trường hiệu quả, lợi nhuận cổ phiếu vượt mức sẽ luôn dao động quanh mức không. Không có xu hướng; ngay khi họ có thể dự đoán lợi nhuận, các nhà giao dịch khai thác xu hướng cho đến khi nó biến mất. Vì vậy, bất kể khi bạn quan sát lợi nhuận vượt quá, nó vẫn sẽ được phân phối WN (0, ).$\sigma$

Như bạn đã nói, nó sẽ thay đổi ngẫu nhiên theo một quy trình tiếng ồn trắng.