11

Giả sử là biến ngẫu nhiên liên tục và là biến rời rạc. $Y$ $X$

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$

Như chúng ta đã biết, vì là biến ngẫu nhiên liên tục. Và dựa trên điều này, tôi muốn kết luận rằng xác suất là không xác định. $\Pr(Y=y) = 0$ $Y$ $\Pr(X=x|Y=y)$

Tuy nhiên, Wikipedia tuyên bố ở đây rằng nó thực sự được định nghĩa như sau:

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

Câu hỏi: Bất kỳ ý tưởng nào làm thế nào Wikipedia quản lý để xác định xác suất đó?

Nỗ lực của tôi

Đây là nỗ lực của tôi để có được kết quả Wikipedia về mặt giới hạn:

\begin{aligned} Pr (X = x | Y = y) & = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \end{aligned}

$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$

$\Pr(X=x|Y=y)$ $\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

Có phải đó là cách Wikipedia đã làm nó?

$\Pr(X=x|Y=y)$ $\Pr(Y=y)$ $\Pr(Y=y|X=x)$ $\Pr(X=x|Y=y)$

Nhưng tôi không chắc chắn về nhiều thứ, kể cả thủ thuật giới hạn mà tôi đã làm ở đó, tôi cảm thấy rằng có lẽ tôi thậm chí không hiểu hết ý nghĩa của những gì tôi đã làm.

conditional-probability pdf

— người Thượng cổ
nguồn

1

Thật vậy, Pr (X = x) = 0 nhưng mật độ của X trong xf (x) có thể không bằng 0. Bạn không nên sử dụng nhãn 'tự học' ??

— Lil'Lobster

2

@Lil Theo như tôi biết, thẻ 'tự học' là khi giải bài tập về nhà. Tôi không làm như vậy.

— thượng cổ

1

Trang Wikipedia thực sự đề cập đến phái sinh: en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem#Derivation

— Ytsen de Boer

3

P (Y = y) = 0

$\mathbb{P}(Y=y)=0$

y \in Y

$y\in\mathcal{Y}$

Y

$Y$

10

$\mathbb{P}(X=x|Y=y)$ $x\in\mathcal{X}$ $y\in\mathcal{Y}$

P (X = x, Y \in A) = \int_{A} P (X = x | Y = y) f_{Y} (y) d y \forall A \in σ (Y)

$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

σ

$\sigma$

Y

$Y$

P (X = x | Y = y) = \frac{P (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \forall x \in X, y \in Y

$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

Khái niệm xác suất có điều kiện liên quan đến một giả thuyết bị cô lập có xác suất bằng 0 là không thể chấp nhận được. Vì chúng ta chỉ có thể có được phân phối xác suất cho [vĩ độ] trên vòng tròn kinh tuyến nếu chúng ta coi vòng tròn này là một yếu tố phân rã toàn bộ bề mặt hình cầu lên các vòng tròn kinh tuyến với các cực đã cho - Andrei Kolmogorov

$y_0$ $Y$ $\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$ $\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$ $\sigma$

Lưu ý: Đây là một giới thiệu thậm chí còn chính thức hơn, lấy từ đánh giá về lý thuyết xác suất trên blog của Terry Tao :

$Y$ $R$ $(R', (\mu_y)_{y \in R'})$ $\Omega$ $Y$ $R'$ $R$ $\mu_Y$ $Y \in R'$ ${\bf P}(|Y=y)$ $\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$ $\Omega$ $y \in R$ $y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$ $F$
$P (F) = E P (F | Y)$ $\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ $Y=y$
$Y=y$ $y \in R'$ $\Omega$ $\Omega_y$ $\sigma$ ${\bf P}$ ${\bf P}(|Y=y)$ $F$ $X$ $(F|Y=y)$ $(X|Y=y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ ${\bf E}(X|Y=y)$ ${\bf E}(X|Y)$ ${\bf E}(X|Y=y)$ $Y=y$

— Tây An
nguồn

1

Đã + 1'd, nhưng ... có lẽ đó là nitpicking, nhưng sẽ không chính xác hơn nếu đề cập đến định lý Bayes như một công thức của Bayes / Laplace ..?

— Tim

2

X

$X$

Y

$Y$

4

$Y$ $X$

Mật độ khớp hỗn hợp:

f_{X Y} (x, y)

$f_{XY}(x,y)$

Mật độ và xác suất cận biên:

f_{Y} (y) = \sum_{x \in X} f_{X Y} (x, y)

$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$

P (X = x) = \int f_{X Y} (x, y) d y

$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$

Mật độ và xác suất có điều kiện:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$

Quy tắc Bayes:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{P (X = x ∣ Y = y) f_{Y} (y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) P (X = x)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$

Tất nhiên, cách hiện đại, nghiêm ngặt để đối phó với xác suất là thông qua lý thuyết đo lường. Để biết định nghĩa chính xác, xem câu trả lời của Xi'an.

— Matthew Gunn
nguồn

2

f_{X} (x | Y = y) = \frac{P (Y = y | X = x) f_{X} (x)}{p (Y = y)}

$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$

P (X = x | Y = y)

$P(X=x|Y=y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Chỉnh sửa: Do nhầm lẫn về ký hiệu (xem bình luận) ở trên thực sự đề cập đến tình huống ngược lại với những gì thượng cổ đã hỏi về.

— Ruben van Bergen
nguồn

Làm thế nào là

Nỗ lực của tôi