Counterexamples nơi Median nằm ngoài [Chế độ trung bình]

Bài viết này nằm trên giải đấu của tôi nhưng nó nói về một chủ đề mà tôi quan tâm, mối quan hệ giữa trung bình, chế độ và trung bình. Nó nói rằng :

Người ta tin rằng trung bình của một phân phối không chính thống là "thường" giữa giá trị trung bình và chế độ. Tuy nhiên, điều này không phải luôn luôn đúng...

Câu hỏi của tôi : ai đó có thể cung cấp các ví dụ về phân phối unimodal (lý tưởng đơn giản) liên tục trong đó trung vị nằm ngoài khoảng [chế độ, trung bình] không? Ví dụ một phân phối như mode < mean < median.

=== CHỈNH SỬA =======

Đã có câu trả lời tốt của Glen_b và Francis, nhưng tôi nhận ra rằng điều tôi thực sự quan tâm là một ví dụ trong đó chế độ <mean <median hoặc median <mean <có nghĩa là cả hai chế độ nằm ngoài [chế độ, có nghĩa là] và trung vị là "Ở cùng một phía" là giá trị trung bình của chế độ (nghĩa là cả chế độ trên hoặc dưới)). Tôi có thể chấp nhận các câu trả lời ở đây đang mở một câu hỏi mới hoặc có thể ai đó có thể đề xuất một giải pháp trực tiếp ở đây?

Chắc chắn, không khó để tìm thấy các ví dụ - ngay cả những ví dụ không liên tục - trong đó trung vị không nằm giữa giá trị trung bình và chế độ.

1. Hãy xem xét iid từ phân phối tam giác có dạngf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Bây giờ hãy để là hỗn hợp 60-40 của và .T 1 - 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   Mật độ của trông như thế này:$X$

   

   Giá trị trung bình dưới 0, chế độ ở mức 0, nhưng trung vị là trên 0. Một sửa đổi nhỏ của điều này sẽ mang lại một ví dụ trong đó ngay cả mật độ (chứ không chỉ là cdf) là liên tục, nhưng mối quan hệ giữa các biện pháp vị trí là giống nhau (chỉnh sửa: xem 3. bên dưới).

2. Tổng quát hóa, hãy đặt tỷ lệ (với ) của tổng xác suất vào tam giác bên phải và tỷ lệ vào tam giác bên trái (thay cho 0,6 và 0,4 chúng tôi đã có trước đây). Hơn nữa, tạo hệ số tỷ lệ ở nửa bên trái thay vì (với ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   Bây giờ giả sử , trung vị sẽ luôn nằm trong khoảng được bao phủ bởi tam giác vuông, do đó trung vị sẽ vượt quá chế độ (sẽ luôn duy trì ở mức ). Cụ thể, khi , trung vị sẽ ở mức . 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   Giá trị trung bình sẽ là .$(p - \beta(1-p))/3$

   Nếu thì giá trị trung bình sẽ ở dưới chế độ và nếu thì giá trị trung bình sẽ ở trên chế độ.$\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   Mặt khác, chúng tôi muốn giữ giá trị trung bình dưới mức trung bình.$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   Xét ; Điều này đặt trung vị trên chế độ.$p=0.7$

   Sau đó sẽ thỏa mãn nên giá trị trung bình nằm trên chế độ.$\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   Giá trị trung bình thực tế là trong khi giá trị trung bình là . Do đó với và , chúng ta có chế độ <mean <median.$1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (NB Để thống nhất với ký hiệu của tôi, biến trên trục x cho cả hai ô nên là chứ không phải nhưng tôi sẽ không quay lại và sửa nó.)$x$$t$

3. Đây là một ví dụ trong đó mật độ chính nó là liên tục. Nó dựa trên cách tiếp cận trong 1. và 2. ở trên, nhưng với "bước nhảy" được thay thế bằng độ dốc cao (và sau đó toàn bộ mật độ lật khoảng 0 vì tôi muốn một ví dụ có vẻ lệch phải).

   

   [Sử dụng phương pháp "hỗn hợp mật độ tam giác", nó có thể được tạo ra dưới dạng hỗn hợp của 3 biến thiên tỷ lệ độc lập của dạng tam giác được mô tả trong phần 1. Hiện tại chúng tôi có 15% , 60% và 25% .]$T_1$$-3T_2$$5T_3$

   Như chúng ta thấy trong sơ đồ trên, giá trị trung bình nằm ở giữa, theo yêu cầu.

4. Lưu ý rằng m_t_ đề cập đến Weibull trong các nhận xét (trong đó trung vị nằm ngoài khoảng cho một phạm vi nhỏ của tham số hình dạng ). Điều này có khả năng đáp ứng bởi vì nó là một phân phối liên tục (và trơn tru) nổi tiếng với hình thức chức năng đơn giản.$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   Đặc biệt, đối với các giá trị nhỏ của tham số hình dạng Weibull, phân phối là lệch phải và chúng ta có tình huống trung bình giữa chế độ và giá trị trung bình, trong khi đối với các giá trị lớn của tham số hình dạng Weibull, phân phối bị lệch trái và một lần nữa chúng ta có tình huống "trung vị ở giữa" (nhưng bây giờ với chế độ ở bên phải thay vì trung bình). Ở giữa những trường hợp đó là một vùng nhỏ trong đó dải phân cách nằm ngoài khoảng chế độ trung bình và ở giữa khoảng đó trung bình và chế độ giao nhau:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   Chọn các giá trị thuận tiện cho tham số hình dạng trong các khoảng được đánh dấu (1) và (2) ở trên - các giá trị trong đó khoảng cách giữa các thống kê vị trí gần bằng nhau - chúng tôi nhận được:

   

   Mặc dù các yêu cầu này đáp ứng các yêu cầu, nhưng không may là ba tham số vị trí gần nhau đến mức chúng ta không thể phân biệt chúng một cách trực quan (tất cả chúng đều nằm trong cùng một pixel), điều này hơi đáng thất vọng - các trường hợp cho các ví dụ trước đây của tôi nhiều hơn ly thân. (Tuy nhiên, nó gợi ý các tình huống để kiểm tra với các bản phân phối khác, một số trong đó có thể đưa ra kết quả khác biệt rõ ràng hơn.)

Ví dụ sau đây được lấy từ Counterexamples của Jordan Stoyanov trong Xác suất .

Cho hằng số dương và , hãy xem xét một biến ngẫu nhiên có mật độ Có thể tìm thấy trung bình , trung vị và chế độ của là Lưu ý là mật độ nếu Vì vậy, nếu chúng ta để thì . Kết quả là, nếu chúng ta chọn một gần với$c$$\lambda$$X$

Lấy phân bố mũ với tham số tỷ lệ a và mật độ exp (-ax) cho 0 <= x <vô cùng. Chế độ ở mức 0. Tất nhiên giá trị trung bình và trung vị lớn hơn 0. Cdf là 1-exp (-ax). Vậy đối với giải trung vị cho exp (-ax) = 0,5 cho x. Khi đó -ax = ln (0,5) hoặc x = -ln (0,5) / a. Đối với giá trị trung bình tích hợp ax exp (-ax) từ 0 đến vô cùng. Lấy a = 1 và ta có trung vị = -ln (0,5) = ln (2) và mean = 1.

Vì vậy, chế độ <trung bình <có nghĩa.