Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên bình phương chi bình phương là gì?

Điều gì sẽ là phân phối của phương trình sau đây:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

trong đó và là các biến ngẫu nhiên chi bình phương không vuông trung tâm độc lập với bậc tự do. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS.: Các rv đang tạo cả và có và , giả sử . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
nguồn

1. và liên quan như thế nào? 2. Các biến ngẫu nhiên Chi-vuông đã có nghĩa> 0 Tại sao bạn cần nói rõ ràng? (Hay bạn đang cố gắng đề cập đến một hình vuông chi không trung tâm?)

a

$a$

d

$d$

— Glen_b -Reinstate Monica

Tôi vừa mới thêm một số thông tin cho câu hỏi. Chúng là các rv chi không vuông trung tâm vì chúng được tạo bởi các biến ngẫu nhiên Gaussian đối xứng tròn không chuẩn.

— Felipe Augusto de Figueiredo

2M là mức độ tự do cho mỗi trong hai?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, trong câu hỏi của bạn, bạn nêu

a

$a$ và

d

$d$ làm "có

μ = 0

$\mu=0$ " nhưng bây giờ trong bình luận mới nhất của bạn, bạn nêu họ không có tài sản này. Đó là cái gì ??

— whuber

Cảm ơn bạn đã cố gắng giải thích, nhưng tôi vẫn không thể hiểu ý nghĩa của nó. Trường hợp bạn viết "

và

là các biến ngẫu nhiên chi bình phương không trung tâm độc lập" có vẻ như bạn đang tính tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên bình thường có ý nghĩa khác không, bởi vì đó thường xuất hiện các biến Chi bình phương không trung tâm. Nhưng sau đó, bài viết của bạn "Các rv đang tạo cả

và

có

", điều này cho thấy bạn đang làm việc với các biến Chi bình phương trung tâm . Tôi nghi ngờ đây là những mâu thuẫn đã khiến bình luận ban đầu của @Glen_b. Bạn có thể hiển thị rõ ràng những gì

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$ và

là?

d

$d$

— whuber

Câu trả lời:

Nếu là độc lập, sau đó sẽ có phân phối. Vì không âm nên CDF của có thể được tìm thấy bằng cách lưu ý $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$ Do đó,

F_{Y} (y) = = P (Y \leq y) = = P (X^{2} \leq y) = = P (X \leq \sqrt{y}) = = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Nếu và tương quan thì mọi thứ phức tạp hơn nhiều. Xem ví dụ Hàm phân phối tích lũy của NH Gordon & PF Ramig của tổng các biến ngẫu nhiên chi bình phương tương quan (1983) để biết định nghĩa về bình phương chi đa biến và phân phối tổng của nó. $a$ $d$

Nếu thì bạn đang đối phó với phi trung tâm chi-squared nên ở trên sẽ không còn giá trị. Bài này có thể cung cấp một số cái nhìn sâu sắc. $\mu\neq 2M$

EDIT: Dựa trên thông tin mới, có vẻ như và được hình thành bằng cách tóm tắt rv bình thường với phương sai không đơn vị. Nhớ lại nếu sau đó $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ . Vì bây giờcảsẽ có phân phối chi bình phương được chia tỷ lệ theo, tức làphân phối. Trong trường hợp nàysẽ là $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

một = = c Σ_{Tôi = = 1}^{2 M} Z_{Tôi}^{2} = = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$ phân phối. Kết quả là với

ta có

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Đức Phanxicô
nguồn

Làm thế nào để mu nhập? Có phải nó là giá trị trung bình của một trong các biến chi bình phương? Tôi nghi ngờ nó không có gì để làm với vấn đề.

— Michael R. Chernick

@MichaelCécick: có lẽ có nghĩa là

có thể là phi bình phương chi bình phương?

a, d

$a, d$

— Phanxicô

Tôi cho rằng bạn có thể đưa ra giả định đó nhưng OP không thực hiện bất kỳ kết nối nào. Tôi nghĩ rằng bạn đã thực hiện đúng phương pháp, người không trung tâm không thể tham gia vào vấn đề này. X là hình vuông của một hình vuông chi ở đây. Trong trường hợp độc lập mà bạn đã sử dụng ở đây, bản phân phối này được gọi là gì?

— Michael R. Chernick

@MichaelCécick Tôi không chắc chắn nếu có một tên đặc biệt liên quan đến phân phối. "Chi-tesseracted" có thể?

— Phanxicô

và

là phi bình phương chi bình phương.

a

$a$

d

$d$

— Felipe Augusto de Figueiredo

$X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

$Y =X^2$

F_{Y} (y) = = P (Y \leq y) = = P (X^{2} \leq y) = = P (X \leq \sqrt{y}) = = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

và ở đâu

F_{X} (x) = = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

vì thế

F_{Y} (y) = = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

$Q$

Những điều trên áp dụng cho các bình phương không trung tâm được hình thành dưới dạng tổng của các bình phương bình phương độc lập với mỗi phương sai đơn nhất nhưng có nghĩa khác nhau.

ĐỊA CHỈ TRẢ LỜI CHO EDIT CÂU HỎI

$N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

$a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

$Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

@FelipeAugustodeFigueiredo Xin lỗi, tôi không quen với rv phức tạp. Câu trả lời của tôi đã đưa ra thực tế là chúng ta bắt đầu từ các hình vuông không trung tâm.

— Alecos Papadopoulos

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

bạn có thể vui lòng giúp tôi với câu hỏi sau: stats.stackexchange.com/questions/253764/iêu . Bất kỳ gợi ý sẽ được đánh giá rất cao. Cảm ơn!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Tôi sợ rằng tôi không có gì để cung cấp cho câu hỏi đó.

— Alecos Papadopoulos