Ước tính phương sai nào để sử dụng cho bài kiểm tra Wald?

Tôi đã thấy bằng chứng sau đây cho thử nghiệm Wald của giả thuyết null cho tham số vô hướng . Khi là MLE cho ước tính từ một mẫu độc lập có kích thước n , theo giả thuyết null, chúng ta có \ sqrt {n} \ left (\ hat {\ theta} _n - \ theta_0 \ right) \ rightarrow N \ left (0, \ dfrac {1} {i (\ theta_0)} \ right) trong phân phối dưới dạng n \ rightarrow \ infty , trong đó i (\ theta_0) là thông tin dự kiến ​​cho một quan sát duy nhất, được đánh giá tại \ theta_0 . Vì vậy, dường như với tôi rằng chúng ta nên sử dụng thống kê kiểm tra θ θ n θ n $H_0: \theta = \theta_0$$\theta$$\hat{\theta}_n$$\theta$$n$n→∞i(θ0)θ$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

sẽ xấp xỉ cho lớn . Tuy nhiên, dường như phổ biến hơn để viết thống kê Wald là$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

tức là, để đánh giá thông tin dự kiến ​​tại chứ không phải tại . Câu hỏi của tôi là, xem xét rằng chúng ta cần phân phối thống kê kiểm tra theo null để thực hiện kiểm tra giả thuyết của mình, không có ý nghĩa hơn khi thử và ước tính lỗi tiêu chuẩn theo null, nghĩa là ước tính của ? q0s. e. ( Θ )$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

Cả hai cách tiếp cận đều hợp pháp, với cả hai đều dẫn đến sự phân phối null tiệm cận giống nhau của thống kê.

θ n→pθ0i( θ n)→pi(θ0)i$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$ ngụ ý rằng sao cho Định lý ánh xạ liên tục (CMT) mang lại rằng , với điều kiện là trong các vấn đề thông thường, rằng liên tục. Sau đó, một lần nữa bởi CMT, và định lý của Slutzky đó dưới là tốt.$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$$i$

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ $H_0$