Sử dụng offset trong mô hình nhị thức để tính số lượng bệnh nhân tăng lên

Hai câu hỏi liên quan từ tôi. Tôi có một khung dữ liệu chứa số lượng bệnh nhân trong một cột (khoảng 10 - 17 bệnh nhân) và 0 và 1 cho biết liệu một sự cố đã xảy ra vào ngày hôm đó. Tôi đang sử dụng mô hình nhị thức để hồi quy xác suất xảy ra sự cố trên số lượng bệnh nhân. Tuy nhiên, tôi muốn điều chỉnh vì thực tế là khi có nhiều bệnh nhân hơn, chắc chắn sẽ có nhiều sự cố hơn vì tổng thời gian bệnh nhân ở phòng bệnh cao hơn vào ngày đó.

Vì vậy, tôi đang sử dụng một mô hình nhị thức bù như thế này (mã R):

glm(Incident~Numbers, offset=Numbers, family=binomial, data=threatdata)

Câu hỏi của tôi là:

1. Có ổn không khi có chính xác các biến dự đoán và trong phần bù? Tôi muốn giảm một phần mức tăng của xác suất sự cố và xem liệu về cơ bản có còn gì không. Nó có ý nghĩa với tôi nhưng tôi hơi thận trọng trong trường hợp tôi sai.

2. Là phần bù được chỉ định chính xác? Tôi biết rằng trong các mô hình poisson nó sẽ đọc

   offset=log(Numbers)
   

Tôi không biết có tương đương ở đây không và dường như tôi không thể tìm thấy bất kỳ sự bù trừ nhị thức nào với Google (vấn đề chính là tôi tiếp tục nhận được nhị thức âm mà tất nhiên là không tốt).

Nếu bạn quan tâm đến xác suất xảy ra sự cố trong N ngày của bệnh nhân trong phường thì bạn muốn có một mô hình như sau:

mod1 <- glm(incident ~ 1, offset=patients.on.ward, family=binomial)

giá trị bù cho các thử nghiệm incidentlà 0 hoặc 1 và xác suất xảy ra sự cố là không đổi (không có sự không đồng nhất trong xu hướng tạo ra sự cố) và bệnh nhân không tương tác để gây ra sự cố (không lây nhiễm). Ngoài ra, nếu khả năng xảy ra sự cố là nhỏ, đó là dành cho bạn (hoặc bạn đã vượt qua số lượng sự cố mà không đề cập đến chúng tôi) thì bạn có thể thích công thức Poisson hơn

log.patients.on.ward <- log(patients.on.ward)
mod2 <- glm(incident ~ 1, offset=log.patients.on.ward, family=poisson)

trong đó các giả định tương tự được áp dụng. Phần bù được ghi lại vì số bệnh nhân trong phường có hiệu ứng tỷ lệ / nhân.

Mở rộng trên mô hình thứ hai, có thể bạn nghĩ rằng có nhiều sự cố hơn mong đợi đơn giản là do số lượng bệnh nhân tăng lên. Đó là, có lẽ bệnh nhân tương tác hoặc không đồng nhất. Vì vậy, bạn cố gắng

mod3 <- glm(incident ~ 1 + log.patients.on.ward, family=poisson)

Nếu hệ số trên log.patients.on.wardkhác biệt đáng kể so với 1, khi nó được cố định mod2, thì điều gì đó thực sự có thể sai với các giả định của bạn không có sự không đồng nhất và không lây nhiễm. Và mặc dù bạn không thể phân biệt hai yếu tố này (cũng không phải là một trong số các biến bị thiếu khác), giờ đây bạn có một ước tính về việc tăng số lượng bệnh nhân trên phường sẽ tăng tỷ lệ / xác suất xảy ra sự cố lên trên mức nào mong đợi từ cơ hội. Trong không gian của các tham số, nó 1-coef(mod3)[2]có khoảng cách có thể lấy được từ confint.

Ngoài ra, bạn chỉ có thể làm việc với số lượng nhật ký và hệ số của nó trực tiếp. Nếu bạn chỉ muốn dự đoán xác suất xảy ra sự cố bằng cách sử dụng số lượng bệnh nhân trên phường, thì mô hình này sẽ là một cách đơn giản để làm điều đó.

Câu hỏi

1. Có ổn không khi có các biến phụ thuộc trong phần bù của bạn? Nghe có vẻ là một ý tưởng rất tồi đối với tôi, nhưng tôi không thấy rằng bạn phải làm thế.

2. Sự bù đắp trong các mô hình hồi quy Poisson exposurethực sự là log(exposure). Có lẽ khó hiểu khi sử dụng các offsetmô hình hồi quy Binomial của R về cơ bản là cách để chỉ ra số lượng thử nghiệm. Nó luôn có thể được thay thế bằng một biến phụ thuộc được xác định là cbind(incidents, patients.on.ward-incidents)và không có bù. Hãy nghĩ về nó như thế này: trong mô hình Poisson, nó nhập vào phía bên phải phía sau chức năng liên kết nhật ký và trong mô hình Binomial, nó nhập vào phía bên trái trước chức năng liên kết logit.

Offsets trong hồi quy Poisson

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét lý do tại sao chúng ta sử dụng phần bù trong hồi quy Poisson. Thông thường chúng tôi muốn do điều này để kiểm soát tiếp xúc. Hãy là tỷ giá cơ bản trên một đơn vị độ phơi sáng và t là thời gian phơi sáng trong cùng một đơn vị. Số lượng sự kiện dự kiến ​​sẽ là λ × t .$\lambda$$t$$\lambda \times t$

Trong mô hình GLM, chúng tôi đang mô hình hóa giá trị mong đợi bằng cách sử dụng hàm liên kết , nghĩa là$g$

$t_i$$i$$x_i$$i$

Chúng ta có thể đơn giản hóa đơn giản hóa biểu thức trên

$\log(t_i)$

Hồi quy nhị thức

Trong hồi quy nhị thức, thường sử dụng liên kết logit, đó là:

$p_i$

$p_i$$i$

$p_{i,j}^*$$j$$i$$i$$\prod_{j=1}^{N_i}(1-p^*_{i,j})$$N_i$$i$

$p_i$$g(p_i)$$\log\left((q^*)^{-N} -1 \right)$ . Điều này vẫn không để lại cho chúng tôi một thuật ngữ liên tục có thể được đưa ra.

Kết quả là chúng ta không thể sử dụng một phần bù trong trường hợp này.

$p$

Câu trả lời này có hai phần, phần đầu là câu trả lời trực tiếp cho câu hỏi và phần thứ hai là phần bình luận về mô hình mà bạn đang đề xuất.

Phần đầu tiên liên quan đến việc sử dụng Numbersnhư là một phần bù cùng với việc có nó trên rhs của phương trình. Hiệu quả của việc này chỉ đơn giản là trừ đi 1 từ hệ số ước tính Numbers, từ đó đảo ngược hiệu ứng của phần bù và sẽ không làm thay đổi kết quả. Ví dụ sau đây, với một vài dòng đầu ra không liên quan được loại bỏ, chứng minh điều này:

library(MASS)
Numbers <- rpois(100,12)
p <- 1 / (1 + exp(0.25*Numbers))
y <- rbinom(100, Numbers, p)
Incident <- pmin(y, 1) 

> summary(glm(Incident~Numbers, family="binomial"))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.3121  -1.0246  -0.8731   1.2512   1.7465  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
(Intercept)  0.99299    0.80624   1.232   0.2181  
Numbers     -0.11364    0.06585  -1.726   0.0844 . <= COEFFICIENT WITH NO OFFSET TERM
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 135.37  on 99  degrees of freedom
Residual deviance: 132.24  on 98  degrees of freedom
AIC: 136.24

> summary(glm(Incident~Numbers, offset=Numbers, family="binomial"))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.3121  -1.0246  -0.8731   1.2512   1.7465  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.99299    0.80624   1.232    0.218    
Numbers     -1.11364    0.06585 -16.911   <2e-16 *** <= COEFFICIENT WITH OFFSET TERM
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 342.48  on 99  degrees of freedom
Residual deviance: 132.24  on 98  degrees of freedom
AIC: 136.24

Lưu ý cách mọi thứ đều giống nhau ngoại trừ hệ số Số và độ lệch null (và thống kê t, vì nó vẫn đang kiểm tra so với 0 thay vì -1.)

$t$$1-(1-p_t)^{N_t}$$N_t$$t$$p_t$ là xác suất trên mỗi bệnh nhân của một sự cố trong ngày $t$. Hàm liên kết thông thường, logit, sẽ tham số hóa này là$\log(1-(1-p_t)^{N_t})/N_t\log(1-p_t)$. Điều này chỉ ra rằng mối quan hệ giữa xác suất quan sát 1 vào ngày$t$ và $N_t$có thể không được mô hình hóa tốt bởi một hàm tuyến tính trên thang đo logit. (Dù sao đây cũng có thể là trường hợp, vì người ta có thể mong đợi một "ngưỡng" thô nào đó bên dưới mà chất lượng chăm sóc bệnh nhân vẫn ổn nhưng trên đó chất lượng chăm sóc bệnh nhân giảm xuống nhanh chóng.)$N_t$ trong mẫu số thay vì tử số vẫn để lại cho bạn số mũ khó xử đó bên trong nhật ký.

Người ta cũng có thể nghi ngờ rằng xác suất trên mỗi bệnh nhân thay đổi tùy theo từng bệnh nhân, điều này sẽ dẫn đến một mô hình phân cấp phức tạp hơn, nhưng tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề đó ở đây.

Trong mọi trường hợp, với điều này và phạm vi giới hạn của số lượng bệnh nhân bạn quan sát, thay vì sử dụng một mô hình tuyến tính trên thang đo logit, có thể tốt hơn là không tham số về mối quan hệ và nhóm số bệnh nhân thành ba hoặc bốn nhóm, ví dụ, 10-11, 12-13, 14-15 và 16-17, xây dựng các biến giả cho các nhóm đó, sau đó chạy hồi quy logistic với các biến giả ở phía bên tay phải. Điều này sẽ cho phép nắm bắt tốt hơn các mối quan hệ phi tuyến tính như "hệ thống bị quá tải khoảng 16 bệnh nhân và các sự cố bắt đầu lan rộng đáng kể". Nếu bạn có phạm vi bệnh nhân rộng hơn nhiều, tôi sẽ đề xuất một mô hình phụ gia tổng quát, ví dụ: 'gam' từ gói 'mgcv'.

Có vẻ đơn giản nhất để chỉ định một liên kết nhật ký và giữ phần bù như cho mô hình Poisson.