Giới hạn sự khác biệt giữa Tương quan của Spearman và Tương quan của Kendall

Tôi đang cố gắng chứng minh hoặc chứng minh rằng sự khác biệt giữa Tương quan của Spearman và Tương quan của Kendall không quá 1 (hoặc ít hơn, càng tốt hơn).

Tôi giả sử không có mối quan hệ.

Trong một nỗ lực để từ chối kết quả bằng cách sử dụng một ví dụ truy cập, tôi đã kiểm tra tất cả các khả năng cho các vectơ có độ dài 8. Có một số hình ảnh đẹp nhưng không có ví dụ về bộ đếm:

Sự khác biệt:

Sự khác biệt không bao giờ nhiều hơn 0,4 trong trường hợp này, vì vậy tôi nghĩ đó là sự thật, nhưng tôi không thể chứng minh điều đó.

correlation spearman-rho kendall-tau

— Pqqwetiqe
nguồn

Có một bài viết rất thú vị có thể là một phần trùng lặp với câu hỏi của bạn. Đó là "Kendall Tau hoặc Spearman's rho? Statistics.stackexchange.com/questions/3943/kendall-tau-or-spearmans-rho.

— Michael R. Chernick

Đối với những người có thể muốn giải quyết một cách tiếp cận đại số trực tiếp, tôi tin rằng kết quả có thể đạt được trong hai bước. Đầu tiên (bước quan trọng), cho thấy giá trị cực kỳ tuyệt đối của chênh lệch đạt được cho dữ liệu cho điểm và cho điểm. Sau đó, chỉ cần tính toán sự khác biệt cho các bộ dữ liệu này. (Trong trường hợp đầu tiên có một mức tối đa khác và trong trường hợp thứ hai, có ba mức cực đại khác được ngụ ý bởi các đối xứng rõ ràng.)

(1, n), (2, n - 1), \dots, (n, 1), (n + 1, 2 n), (n + 2, 2 n - 1), \dots, (2 n, n + 1)

$(1,n),(2,n-1),\ldots, (n,1),(n+1,2n),(n+2,2n-1),\ldots,(2n,n+1)$

2 n

$2n$

(1, n + 1), (2, n), \dots, (n + 1, 1), (n + 2, 2 n + 1), (n + 3, 2 n), \dots, (2 n + 1, n + 2)

$(1,n+1),(2,n),\ldots,(n+1,1),(n+2,2n+1),(n+3,2n),\ldots,(2n+1,n+2)$

2 n + 1

$2n+1$

— whuber

@Glen_b Nếu tôi đúng, thì chênh lệch tuyệt đối tối đa cho dữ liệu có độ dài là có giá trị giới hạn là (từ bên dưới) làĐiều đó hỗ trợ những gì bạn đã viết. Công thức này có liên quan đến A111384 , có giá trị được chia cho .

n

$n$

\frac{2 (n - 2) ⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⌊ \frac{n}{2} ⌋}{n (n^{2} - 1)},

$\frac{2 (n-2) \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }{n \left(n^2-1\right)},$

1 / 2

$1/2$

n \to \infty .

$n\to\infty.$

n (n^{2} - 1) / 4

$n(n^2-1)/4$

— whuber

Ràng buộc đó dường như khớp với công thức của bạn cho ngay cả n (và các trường hợp giới hạn của bạn trong nhận xét trước đó dường như khớp với các công thức thu được bằng cách tính toán toàn diện cho tất cả các giá trị nhỏ mà tôi có thể dễ dàng kiểm tra - nhưng tôi hy vọng bạn đã làm điều đó). Thật thú vị khi giới hạn là 1/2. Tôi đã phạm sai lầm trong trường hợp n lẻ? (chỉnh sửa: Không, tôi hiểu rồi, tôi đã tách ra khỏi việc thao túng công thức của bạn)

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Một giới hạn của là trực quan: cho các mô hình tôi đã mô tả, Spearman gần trong khi Kendall là . Đại số được đơn giản hóa bằng cách khái quát hóa phương pháp "bút chì" của tôi để hiệp phương sai. Đây là mã thực hiện các công thức có liên quan. Các đối số bao gồm hai hoán vị của . Spearman : Kendall :

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

O (1 / n)

$O(1/n)$ R1:nfunction(x, y) mean(outer(x, x, '-') * outer(y, y, '-')) * 6 / (length(x)^2 - 1) function(x,y) mean(sign(outer(x, x, '-')) * sign(outer(y, y, '-'))) * (1 + 1/(length(x)-1))

— whuber

Bạn có thể muốn nhìn vào bài báo này ! Và các tác phẩm khác của các tác giả này. Tôi không thể nhớ chính xác nơi, nhưng tôi đã nhìn thấy biểu đồ đầu tiên của bạn trong bài báo của họ và một số bằng chứng cùng với nó. Tôi nghĩ điều này có thể được thực hiện bằng cách tận dụng các công thức (vì Kendall tau và Spearman rho có thể được viết như là một chức năng của copula cơ bản giữa hai biến). Hy vọng nó giúp.

$C$ là copula của . $(X,Y)$

$\tau(X,Y) = 4\int_0^1 \int_0^1 C(u,v) c(u,v) du dv - 1$

(Tương quan Kendall là kỳ vọng của copula được định cỡ lại thành ) $[0,1]$

$\rho(X,Y) = 12 \int_0^1 \int_0^1 C(u,v) du dv - 3$

Sau đó, $|\tau - \rho| \leq \ldots$

— mic
nguồn

Bài viết là một tài liệu tham khảo tốt đẹp cho các kỹ thuật mà nó thể hiện. Tuy nhiên, nó dường như không chứa một kết quả có thể dễ dàng ám chỉ kết quả được phỏng đoán trong câu hỏi này. Điều đó chủ yếu là vì kết quả của nó không phải là phổ quát: chúng áp dụng trong các điều kiện hạn chế khác nhau và thậm chí sau đó chỉ trong giới hạn khi phân phối chung tiến tới độc lập.

— whuber