Liên quan

Sự xuất hiện của các photon tại một pixel trong cảm biến hình ảnh là một biến ngẫu nhiên phân tán Poisson sao cho đầu vào có thể được mô hình hóa thành Poisson rv .$X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$

Vì đầu vào là Poisson, giá trị trung bình và phương sai bằng nhau sao cho

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$$

Bây giờ khi đầu vào photon được truyền qua cảm biến hình ảnh tuyến tính (máy ảnh) để tạo ra đầu ra kỹ thuật số, chúng ta có thể coi đây là một phép biến đổi tuyến tính của sao cho đầu ra, là .$X$$Y$$Y=X/g$

Trong trường hợp của cảm biến tuyến tính này, tôi có thể trích xuất 'mức tăng chuyển đổi', tức là số lượng photon cần thiết để tạo ra một đầu ra kỹ thuật số của một, được biểu thị bằng theo đơn vị (photon / kỹ thuật số #), như$g$

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$$

Tuy nhiên, bây giờ hãy xem xét một cảm biến trong đó mức tăng chuyển đổi phụ thuộc tuyến tính vào đầu vào, ví dụ: trong đó và . Điều này có nghĩa là mức tăng là hàm tăng của tín hiệu .$Y=X/(aX+b)$$a>0$$b>0$$g(x)=ax+b$

Trong trường hợp của cảm biến phi tuyến tính này, mức tăng không còn có thể được tìm thấy từ tỷ lệ trung bình so với phương sai ở đầu ra

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$$

Trong thực tế, mức tăng chuyển đổi đo được tìm thấy lớn hơn mức tăng chuyển đổi thực tế cho bất kỳ mức tín hiệu đầu vào nào.

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$$

Một phần của lời giải thích cho điều này là sự bất bình đẳng của Jensen, trong đó nêu rõ rằng để chuyển đổi lõm ngày càng tăng của một số đầu vào ngẫu nhiên , tức là :$X$$Y=f(X)$

$$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$$

Trong trường hợp của tôi, trên thực tế là hàm lõm tăng có nghĩa là giá trị trung bình đo được ở đầu ra nhỏ hơn giá trị trung bình biến đổi của đầu vào. Vì chúng ta biết mức tăng đo được ở đầu ra được đánh giá quá thấp và giá trị trung bình đo được đánh giá thấp, điều này ngụ ý rằng phương sai đo được thậm chí còn được đánh giá thấp hơn giá trị trung bình .$Y=X/(aX+b)$

Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều này hoặc viết toán học này? Có sự khái quát hóa sự bất bình đẳng của Jensen cho phương sai không? Tôi có thể chỉ ra chính xác lý do tại sao mức tăng được đánh giá quá cao trong ví dụ này không?

Không có mối quan hệ giữa hai số lượng $f(\text{Var}[X])$ và $\text{Var}[f(X)]$ cho lõm $f$. Dưới đây là các ví dụ để chứng minh điều này:

• Ex 1: Giả sử biến ngẫu nhiên $X$ có chiều $p_X(0) = \frac{1}{2}$ và $p_X(4) = \frac{1}{2}$và $f(x) = \sqrt{x}$. Chúng tôi nhận được$\text{Var}[f(X)] = 1$ và $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2$. Vì thế,$\text{Var}[f(X)] < f(\text{Var}[X])$.
• Ex 2: Giả sử biến ngẫu nhiên $X$ giống như trước tức là nó có pmf: $p_X(0) = \frac{1}{2}$ và $p_X(4) = \frac{1}{2}$, nhưng $f$ thay đổi để $f(x) = \sqrt{x} - 100$. Lưu ý rằng$\text{Var}[f(X)] = 1$ vẫn còn, nhưng bây giờ $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2-100=-98$. Vì thế,$\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$.