Tại sao P (A, B | C) / P (B | C) = P (A

16

Tôi hiểu $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Điều kiện là giao điểm của A và B chia cho toàn bộ diện tích của B.

Nhưng tại sao là $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Bạn có thể cho một số trực giác?

Không nên nó là: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$ ?

probability conditional-probability

— ihadanny
nguồn

2

Có lẽ nó dễ dàng hơn để hiểu theo hình thức nhân giống:

P (A, B ∣ C) = P (A ∣ B, C) P (B ∣ C)

$P(A,B\mid C)=P(A\mid B,C)P(B\mid C)$ ?

— Hagen von Eitzen

37

Bất kỳ kết quả xác suất nào đúng với xác suất vô điều kiện vẫn đúng nếu mọi thứ được quy định trong một sự kiện nào đó.

Bạn có biết rằng theo định nghĩa,

\begin{matrix} (1) & P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \end{matrix}

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$ và vì vậy nếu chúng ta điều kiện tất cả mọi thứ trên

C

$C$ đã xảy ra, chúng tôi nhận được rằng

chính xác như trực giác của bạn sẽ cho bạn biết. Tuy nhiên, bạn có thể thiết lập

và bắt đầu với định nghĩa của

như trong

\begin{matrix} (2) & P (A ∣ (B \cap C)) = \frac{P ((A \cap B) ∣ C)}{P (B ∣ C)} \end{matrix}

$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$

D = B \cap C

$D = B\cap C$

P (A ∣ (B \cap C)) = P (A ∣ D)

$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$

(1)

$(1)$

và sau đó nhân và chia cho

trên bên phải của

để viết kết quả cuối cùng như

như trong câu trả lời của Taylor.

\begin{matrix} (3) & P (A ∣ (B \cap C)) = P (A ∣ D) = \frac{P (A \cap D)}{P (D)} = \frac{P (A \cap (B \cap C))}{P (B \cap C)} = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B \cap C)} \end{matrix}

$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$

P (C))

$P(C))$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Dilip Sarwate
nguồn

19

Chỉ cần vẽ sơ đồ Venn. Sau đó chúng tôi có và mối quan hệ sau bằng cách chia các biểu hiện đầu tiên của thứ hai.

Pr [A \cap B ∣ C] = \frac{"1"}{"C"}, Pr [B ∣ C] = \frac{"1" + "2"}{"C"}, Pr [A ∣ B \cap C] = \frac{"1"}{"1" + "2"},

$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$

— chăn nuôi
nguồn

18

\begin{aligned} \frac{P (A, B | C)}{P (B | C)} & = \frac{P (A, B, C)}{P (C)} \frac{P (C)}{P (B, C)} \\ = \frac{P (A, B, C)}{P (B, C)} \\ = P (A | B, C) \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$

— Taylor
nguồn

9

-1 Mặc dù khá chính xác, câu hỏi yêu cầu một số trực giác, điều này không chứa bất kỳ.

— Jack Aidley

P (A, B)

$P(A,B)$

2

nó có nghĩa là P (A và B) :: xác suất chung,

— nyxee

@ Xi'an Tôi nghĩ đó là ký hiệu ban đầu

— Taylor

4

Trực giác của tôi là ...

$C$ $C$ $C$ luôn được ban cho.

$C$ $X$ $\hat{P}(X)$

\hat{P} (A | B) = \frac{\hat{P} (A \cap B)}{\hat{P} (B)} .

$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$

Now, you as an Earthling, know a world where $C$ is not part of the assumptions in everyday life. So, when you come to our planet you can immediately notice, that every our probability $\hat P(X)$ actually correspond to your $P(X|C)$ .

You are immediately able to rewrite the RHS, following the upper discovery:

\frac{P (A \cap B ∣ C)}{P (B ∣ C)} .

$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$

But ... What is the LHS? Well, what is the probability of $A$ when $B$ is given when $C$ is (also) given? Precisely

P (A ∣ B \cap C),

$P(A\mid B\cap C)\text{,}$ hence the formula.

— Antoine
nguồn

Tại sao P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?