Đại diện không gian trạng thái của ARMA (p, q) từ Hamilton

Tôi đã đọc Hamilton Chương 13 và anh ta có đại diện không gian trạng thái sau cho một ARMA (p, q). Đặt Sau đó, quá trình ARMA (p, q) như sau: \ started {căn chỉnh} y_t - \ mu & = \ phi_1 (y_ {t-1} - \ mu) + \ phi_2 (y_ {t-2} - \ mu) + ... + \ phi_3 (y_ {t-3} - \ mu) \\ & + \ epsilon_t + \ theta_1 \ epsilon_ {t-1} +. .. + \ theta_ {r-1} \ epsilon_ {t-r + 1}. \ end {căn chỉnh} Sau đó, anh ta xác định Phương trình trạng thái như sau:$r = \max(p,q+1)$

$$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$$

$$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

và phương trình quan sát như:

$$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$$

Tôi không hiểu $\xi_t$ là gì trong trường hợp này. Bởi vì trong đại diện AR (p) của anh ta, đó là $\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$ và trong đại diện MA (1) của mình, đó là $\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}$ .

Ai đó có thể giải thích điều này cho tôi tốt hơn một chút?

Hamilton cho thấy đây là một đại diện chính xác trong cuốn sách, nhưng cách tiếp cận có vẻ hơi phản trực giác. Do đó, trước tiên hãy để tôi đưa ra một câu trả lời cấp cao thúc đẩy sự lựa chọn người mẫu của anh ấy và sau đó giải thích một chút về sự phát sinh của anh ấy.

Động lực :

Như đã rõ ràng từ việc đọc Chương 13, có nhiều cách để viết một mô hình động ở dạng không gian trạng thái. Do đó, chúng ta nên hỏi tại sao Hamilton chọn đại diện cụ thể này. Lý do là đại diện này giữ cho chiều của vectơ trạng thái thấp. Theo trực giác, bạn sẽ nghĩ (hoặc ít nhất là tôi sẽ) rằng vectơ trạng thái cho ARMA ( , ) cần ít nhất là kích thước . Rốt cuộc, chỉ từ việc quan sát nói , chúng ta không thể suy ra giá trị của . Tuy nhiên, ông cho thấy rằng chúng ta có thể định nghĩa biểu diễn không gian trạng thái một cách thông minh để lại vectơ trạng thái có kích thướcq p + q y t - 1 ε t - 1 r = max { p , q + 1 } p $p$$q$$p+q$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$r = \max\{p, q + 1 \}$. Giữ nguyên chiều kích trạng thái có thể quan trọng đối với việc thực hiện tính toán, tôi đoán vậy. Hóa ra, đại diện không gian trạng thái của anh ta cũng đưa ra một cách giải thích hay về quy trình ARMA: trạng thái không quan sát được là AR ( ), trong khi phần MA ( ) phát sinh do lỗi đo lường.$p$$q$

Đạo hàm :

Bây giờ cho phái sinh. Lưu ý đầu tiên rằng, sử dụng ký hiệu toán tử lag, ARMA (p, q) được định nghĩa là: trong đó chúng tôi để cho và cho và chúng tôi bỏ qua vì ít nhất là . Vì vậy, tất cả những gì chúng ta cần chỉ ra là các phương trình trạng thái và quan sát của ông ngụ ý phương trình trên. Đặt vectơ trạng thái là Bây giờ hãy nhìn vào phương trình trạng thái. Bạn có thể kiểm tra các phương trình đếnφ j = 0 j > p θ j = 0 j > q θ r r q +

$$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$$ $\phi_j = 0$$j>p$$\theta_j = 0$$j>q$$\theta_r$$r$$q+1$ 2r ξ i , t ξ i - 1 , t + 1 ξ r , t t+1 ξ i , t + 1 ξ 1 , t + 1 = φ 1 ξ 1 $$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$$ $2$$r$chỉ cần di chuyển các mục sang trước một khoảng thời gian và loại bỏ trong vectơ trạng thái tại . Do đó, phương trình đầu tiên, xác định là phương trình có liên quan. Viết ra: Vì phần tử thứ hai của là phần tử đầu tiên của và phần tử thứ ba của là phần tử đầu tiên của$\xi_{i,t}$$\xi_{i-1,t+1}$$\xi_{r,t}$$t+1$$\xi_{i,t+1}$ξ t ξ t - 1 ξ t ξ t - 2 (1- φ 1 L-...- φ r L r ) ξ 1 , t + 1 = ϵ t + 1 y $$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$$ $\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-1}}$$\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-2}}$và v.v., chúng ta có thể viết lại phần này, sử dụng ký hiệu toán tử lag và di chuyển đa thức lag sang phía bên trái (phương trình 13.1.24 trong H.): Vì vậy, trạng thái ẩn tuân theo quy trình tự động. Tương tự, phương trình quan sát là hoặc Điều này không giống với ARMA cho đến nay, nhưng bây giờ đã xuất hiện phần hay: nhân phương trình cuối cùng với : $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$$ y t - μ = ( 1 + θ 1 L + ... + θ r - 1 L r - 1 ) ξ 1 , t ( 1 - φ 1 L $$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$$ $$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$$ ( 1 - φ 1 L - ... - φ r L r ) ( y t - μ ) = ( 1 + θ 1 L + ... + θ r - 1 L r - 1 ) ( 1 - φ 1 L - ... - φ r L r ) $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ ( 1 - φ 1 L - ... - φ r L r ) ξ 1 , t = ε t ( 1 - φ 1 L - ... - φ r L r ) ( y t - μ ) = ( 1 + θ 1 L + ... + θ r - 1 L r - 1 $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$$ Nhưng từ phương trình trạng thái (bị trễ bởi một khoảng thời gian), chúng ta có ! Vì vậy, ở trên tương đương với chính xác là những gì chúng tôi cần thể hiện! Vì vậy, hệ thống quan sát trạng thái thể hiện chính xác ARMA (p, q). Tôi thực sự chỉ đang diễn giải Hamilton, nhưng tôi hy vọng rằng dù sao nó cũng hữu ích.$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$$

Điều này cũng giống như trên, nhưng tôi nghĩ rằng tôi sẽ cung cấp một câu trả lời ngắn gọn, súc tích hơn. Một lần nữa, đây là đại diện của Hamilton cho một quá trình ARMA ( , ) nhân quả , trong đó . Số này sẽ là thứ nguyên của vectơ trạng thái và cần tạo số lượng hàng của trạng thái khớp với số cột của ma trận quan sát. Điều đó có nghĩa là chúng ta cũng phải đặt hệ số về 0 mỗi khi chỉ số quá lớn.$p$$q$$r=\max(p,q+1)$$r$$(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

1. Phương trình quan sát

$$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$$

2. Phương trình nhà nước

$$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$$