Giả sử rằng chúng ta có mẫu của hai biến độc lập Bernoulli ngẫu nhiên, và .
Làm cách nào để chúng tôi chứng minh rằng ?
Giả sử rằng .
Giả sử rằng chúng ta có mẫu của hai biến độc lập Bernoulli ngẫu nhiên, và .
Làm cách nào để chúng tôi chứng minh rằng ?
Giả sử rằng .
Câu trả lời:
Đặt ,b=√ , A=(ˉX1-θ1)/a, B=(ˉX2-θ2)/b. Ta có A→dN(0,1),B→dN(0,1). Xét về chức năng đặc trưng nó có nghĩa là φA(t)≡Ee Chúng tôi muốn chứng minh rằng D:= a
Từ và B là độc lập, φ D ( t ) = φ A ( một như chúng tôi muốn nó được.
Bằng chứng này là không đầy đủ. Ở đây chúng ta cần một số ước tính cho sự hội tụ thống nhất của các hàm đặc trưng. Tuy nhiên trong trường hợp đang xem xét, chúng tôi có thể tính toán rõ ràng. Đặt . ϕ X 1 , 1 ( t )
Note that similar calculations may be done for arbitrary (not necessarily Bernoulli) distributions with finite second moments, using the expansion of characteristic function in terms of the first two moments.
Proving your statement is equivalent to proving the (Levy-Lindenberg) Central Limit Theorem which states
If is a sequence of i.i.d random variable with finite mean and finite variance then
Here that is the sample variance.
Then it is easy to see that if we put
and
(There's a last passage, and you have to adjust this a bit for the general case where but I have to go now, will finish tomorrow or you can edit the question with the final passage as an exercise )