Bằng chứng là nếu khoảnh khắc cao hơn tồn tại thì khoảnh khắc thấp hơn cũng tồn tại

Các khoảnh khắc -thứ của một biến ngẫu nhiên là hữu hạn nếu $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Tôi đang cố gắng chỉ ra rằng với bất kỳ số nguyên dương nào , thì khoảnh khắc thứ cũng là hữu hạn. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function

— nona
nguồn

Đây có phải là bài tập về nhà không? Nếu vậy, những gì bạn đã cố gắng cho đến nay? Ngoài ra, tôi đã cố gắng làm cho câu hỏi của bạn dễ đọc hơn, vui lòng cho tôi biết nếu tôi mắc lỗi.

— Gschneider

Tôi đọc sách giáo khoa billingsley và tìm kiếm trên internet nhưng không có bằng chứng chính xác nào tồn tại. Những gì tôi tìm thấy chỉ là một manh mối có thể sử dụng bất đẳng thức của jensen.

— nona

Xem xét viết lại

như

và xem nếu điều đó đưa bạn đến bất cứ nơi nào.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

— Gschneider

Có một sự khác biệt giữa một khoảnh khắc hiện tại và là hữu hạn . Đặc biệt, một khoảnh khắc có thể tồn tại, nhưng là vô hạn. Thuật ngữ bạn được giới thiệu là một chút không chính xác. Trong mọi trường hợp, đây là kết quả chuẩn về khoảng trắng

; không phải là "không có bằng chứng chính xác tồn tại". :)

L_{p}

$L_p$

— Đức hồng y

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
nguồn

Khỏe. Bạn cũng có thể chứng minh điều đó với sự giúp đỡ của bất bình đẳng của Jensen.

— Stéphane Laurent

(+1) Tôi thích điều này vì nó chỉ dựa vào các tính chất cơ bản nhất của kỳ vọng, đó là tính đơn điệu. Trong trường hợp một người lo lắng về việc phải làm gì với phía bên tay phải, họ có thể lưu ý rằng . Nếu một người thích ứng dụng của Jensen, họ có thể viết và lưu ý rằng .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— Đức hồng y

@cardinal: (+1) Tôi thích sự bất bình đẳng của bạn vì nó liên quan trực tiếp đến ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Xi'an