Khoảnh khắc trung tâm thứ ba của tổng số ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên iid

Lấy cảm hứng từ câu hỏi này , tôi đã cố gắng để có được một biểu thức cho thời điểm trung tâm thứ ba của tổng số ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên iid. Câu hỏi của tôi là liệu nó có đúng không và nếu không, cái gì sai hoặc những giả định bổ sung nào có thể bị thiếu.

Cụ thể, hãy:

S = \sum_{1}^{N} X_{i},

$S=\sum_1^N{X_i},$ trong đó là biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên không âm.

N

$N$

Giả sử rằng các bản phân phối của cả hai và được biết đến (và là iid), tôi muốn biết giá trị của thời điểm trung tâm thứ ba của . $N$ $X$ $X_i$ $S$

Sử dụng luật của tổng số cummulance:

μ_{3} (S) = E [μ_{3} (S | N)] + μ_{3} (E [S | N]) + 3 c o v (E [S | N], V [S | N]),

$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$

nhưng , và, nếu tôi đúng, . Vì thế: $E[S|N]=N\cdot E[X]$ $E[S|N]=N\cdot V[X]$ $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$

μ_{3} (S) = E [N \cdot μ_{3} (X)] + μ_{3} (N \cdot E [X]) + 3 c o v (N \cdot E [X], N \cdot V [X]),

$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$

và, vì những khoảnh khắc của được cho là đã biết: $X$

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] c o v (N, N)

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$

Tất nhiên, , vì vậy: $cov(N,N)=V[N]$

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] V [N]

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$

Đúng không? Chuyện gì thế? Tôi còn thiếu những giả định nào nữa?

random-variable moments

— Rafael
nguồn

Các bước của bạn nhìn đúng với tôi. Chúng ta cần phải giả định rằng những khoảnh khắc tồn tại. Bước duy nhất tôi không chắc chắn là . Nhưng, chúng ta có thể chứng minh rằng: $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

\begin{aligned} μ_{3} (S | X) & = E [(S - E [S])^{3} | N] \\ = E [{(\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X]))}^{3} | N] \\ = E [\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X])^{3} | N] \end{aligned}

$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$ nơi để thiết lập đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể sử dụng định lý đa thức. Đối với một cho trước ,

n

$n$

\begin{aligned} E [{(\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X]))}^{3}] & = E [\sum_{\sum_{i = 1}^{n} k_{i} = 3} (\binom{3}{k_{1}, \dots, k_{n}}) (X_{1} - E [X])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X])^{k_{n}}] \\ = E [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X])^{3}], \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$ vì khi cho bất kỳ nào , sẽ tồn tại khác trong đó (Do tính độc lập của và và thực tế là kỳ vọng của bằng 0, khiến thuật ngữ cụ thể đó trở thành số không). Bây giờ, rõ ràng là .

k_{i} = 2

$k_i = 2$

i

$i$

j

$j$

k_{j} = 1

$k_j=1$

X_{i}

$X_i$

X_{j}

$X_j$

X_{j} - E [X]

$X_j - E[X]$

μ_{3} (S | X) = N \cdot μ_{3} [X]

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

— jagdish
nguồn