Tại sao giá trị mong đợi được đặt tên như vậy?

Tôi hiểu làm thế nào chúng ta có được 3,5 như giá trị mong đợi cho việc lăn một cái chết 6 mặt công bằng. Nhưng theo trực giác, tôi có thể mong đợi mỗi khuôn mặt có cơ hội bằng 1/6.

Vì vậy, giá trị kỳ vọng của việc lăn một con súc sắc có phải là một trong các số từ 1-6 với xác suất bằng nhau không?

Nói cách khác, khi được hỏi câu hỏi 'giá trị mong đợi của việc ném một cái chết 6 mặt công bằng là gì?', Người ta nên trả lời 'ồ, nó có thể là bất cứ thứ gì trong khoảng 1-6 với cơ hội như nhau'. Thay vào đó là 3,5.
Theo trực giác trong thế giới thực, ai đó có thể giải thích 3,5 như thế nào là giá trị tôi nên mong đợi khi ném chết không?
Một lần nữa tôi không muốn công thức hoặc dẫn xuất cho kỳ vọng.

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở Paris vào năm 1654 và bạn và bạn của bạn đang quan sát một trò chơi đánh bạc dựa trên việc gieo liên tiếp một con xúc xắc sáu mặt. Bây giờ, đánh bạc là rất bất hợp pháp và sự phá hoại của các hiến binh là khá thường xuyên, và để bị bắt tại một bàn có nhiều ngăn sống là gần như chắc chắn đảm bảo một thời gian dài trong Lâu đài.

Để giải quyết vấn đề này, bạn và bạn của bạn có một thỏa thuận của một quý ông về vụ cá cược được thực hiện giữa hai bạn trước vòng quay cuối cùng. Anh ta đồng ý trả cho bạn năm livre nếu bạn quan sát hai sáu trong năm lần xúc xắc tiếp theo và bạn đồng ý trả cho anh ta số tiền tương tự nếu hai người được lăn, không có hành động nào khác nếu những kết hợp này không xuất hiện.

Bây giờ, cuộn chết cuối cùng là sáu vì vậy bạn đang ở trên mép ghế của bạn, theo nghĩa bóng. Lúc này, những người bảo vệ được vũ trang mạnh mẽ xông vào hang và bắt giữ tất cả mọi người tại bàn, và đám đông giải tán.

Bạn của bạn tin rằng đặt cược giữa hai bạn bây giờ đã bị vô hiệu. Tuy nhiên, bạn tin rằng anh ta nên trả cho bạn một số tiền vì một sáu đã được tung ra. Một cách công bằng để giải quyết tranh chấp này giữa hai bạn là gì?

(Đây là cách giải thích của tôi về nguồn gốc của giá trị dự kiến ​​như được trình bày ở đây và thảo luận chi tiết hơn ở đây )

Hãy trả lời câu hỏi này về giá trị hợp lý theo cách không nghiêm ngặt. Số tiền bạn bè của bạn sẽ trả cho bạn có thể được tính theo cách sau. Xem xét tất cả các cuộn có thể của bốn con xúc xắc. Một số bộ cuộn (cụ thể là những bộ chứa ít nhất một sáu) sẽ dẫn đến việc bạn của bạn thanh toán số tiền đã thỏa thuận. Tuy nhiên, trên các bộ khác (cụ thể là những bộ không chứa sáu) sẽ dẫn đến việc bạn không nhận được tiền. Làm thế nào để bạn cân bằng khả năng của hai loại cuộn xảy ra? Đơn giản, trung bình số tiền bạn sẽ được trả cho TẤT CẢ các cuộn có thể.

Tuy nhiên, bạn của bạn, (khá khó xảy ra), vẫn có thể thắng cược của mình! Bạn phải xem xét số lần hai con sẽ được lăn trong bốn con xúc xắc còn lại, và tính trung bình số tiền bạn sẽ trả cho anh ta qua số lượng của tất cả bốn con xúc xắc có thể có. Đây là số tiền hợp lý bạn nên trả cho bạn mình để đặt cược. Do đó, số tiền bạn kết thúc nhận được là số tiền bạn bè của bạn sẽ trả cho bạn, trừ đi số tiền bạn nên trả cho bạn của mình.

Đây là lý do tại sao chúng tôi gọi nó là "giá trị mong đợi". Đó là số tiền trung bình bạn mong muốn nhận được nếu bạn có thể mô phỏng một sự kiện xảy ra trong nhiều vũ trụ đồng thời.

Câu hỏi tuyệt vời. Nó tinh tế hơn lúc đầu. Nó phải làm với sự kiện ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên (số, giá trị). Sự nhầm lẫn của bạn bắt nguồn từ việc trộn lẫn hai khái niệm liên quan nhưng khác biệt này.

Hãy bắt đầu với một sự kiện. Từ cách bạn đặt câu hỏi, có vẻ như bạn xem xét kết quả của một con xúc xắc ném một sự kiện. Đó là ngẫu nhiên, vì vậy bạn có thể có được một trong sáu mặt của nó với cơ hội như nhau, như bạn đã viết. Nó làm cho một cảm giác hoàn hảo.

Giá trị dự kiến ​​của thí nghiệm này là gì? Các kỳ vọng được xác định cho các biến ngẫu nhiên (giá trị) không phải là sự kiện. Đối với bạn, các số từ 1 đến 6 trên súc sắc chỉ đơn giản là cách để phân biệt các mặt của nó (trong bối cảnh công thức câu hỏi của bạn). Thay vào đó, hãy tưởng tượng bạn đã sử dụng các chữ cái: A, B, C, D, E và F. Thay thế các số bằng các chữ cái và lặp lại câu hỏi của bạn như sau:

Nói cách khác, khi được hỏi câu hỏi 'giá trị mong đợi của việc ném một cái chết 6 mặt công bằng là gì?', Người ta nên trả lời 'ồ, nó có thể là bất cứ điều gì giữa A và F với cơ hội như nhau'

Bây giờ hãy cố gắng đưa ra một giá trị mong đợi. Nó không được xác định!

Các kỳ vọng hiển thị khi bạn xác định các giá trị ngẫu nhiên, chẳng hạn như 1 đến 6. Bạn ánh xạ các giá trị vào không gian sự kiện, ví dụ: bạn xác định bên A là 1, bên B là 2, v.v. Bây giờ bạn có 6 số và có thể tính toán kỳ vọng, xảy ra là 3,5.

"Mỗi giá trị đều có khả năng như nhau" hoặc "một số giá trị rất có thể" là định nghĩa của chế độ, không phải là giá trị mong đợi.

Hãy tưởng tượng chúng ta đang chơi một trò chơi tung đồng xu. Mỗi lần tôi ném đầu, tôi đưa cho bạn 1 đô la , mỗi lần tôi quăng đuôi, bạn cho tôi 1 đô la . Bao nhiêu tiền bạn sẽ mong đợi để giành chiến thắng hoặc mất trong thời gian dài ? Các khoản tiền bằng nhau, xác suất ném chúng bằng nhau, giá trị kỳ vọng bằng không.

Giá trị mong đợi được gọi như vậy bởi vì nếu bạn tính trung bình tất cả các cuộn súc sắc, bạn sẽ nhận được giá trị mong đợi này trong thời gian dài . Giá trị mong đợi không liên quan đến bất kỳ cuộn súc sắc nào.

Từ quan điểm lịch sử, khái niệm này dường như xuất hiện ở các quốc gia khác nhau, vì vậy tôi sẽ coi việc sử dụng từ này như một sự hội tụ thuận tiện giữa các khái niệm tương tự giữa các ngôn ngữ.

Xuất phát điểm của tôi là những biểu tượng sử dụng sớm nhất xuất sắc trong xác suất và thống kê :

Sự mong đợi. Một kịch bản lớn E đã được sử dụng cho sự kỳ vọng trong sách giáo khoa nổi tiếng Sự lựa chọn và cơ hội của WA Whitworth (ấn bản thứ năm) năm 1901 nhưng cả biểu tượng và tính toán kỳ vọng đều không được thiết lập trong văn học Anh cho đến tận sau này. Ví dụ, Thống kê toán học Rietz (1927) đã sử dụng ký hiệu E và nhận xét rằng "giá trị kỳ vọng của biến là một khái niệm đã được sử dụng nhiều bởi các nhà văn châu Âu lục địa ..." Đối với các nhà văn châu Âu lục địa E có nghĩa là "Erwartung" hoặc " đặc quyền (ghi chú của biên tập viên: mathématique) ."

Thuật ngữ này đôi khi được "gán cho" Huyghens, được thảo luận trong Huygens Foundations Of Xác suất :

Người ta thường chấp nhận rằng Huygens dựa trên xác suất dựa trên kỳ vọng. Tuy nhiên, thuật ngữ "kỳ vọng" bắt nguồn từ bản dịch tiếng Latinh của Van-Schooten về chuyên luận của Huygens. Một bản dịch nghĩa đen của văn bản tiếng Hà Lan của Huygens cho thấy rõ hơn ý nghĩa thực sự của Huygens và cách anh ta tiến hành.

Các chi tiết bổ sung liên quan đến Fermat, Pascal có thể được tìm thấy trong Kỳ vọng và các nhà xác suất đầu tiên .

Thật thú vị, khái niệm chung hơn giá trị mong đợi là vị trí . Do đó, khái niệm giá trị kỳ vọng có ý nghĩa tinh tế có phần khó hiểu.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ Mất 1 đô la, hoạt động tốt như trung bình, với lợi thế là thực sự có kết quả trong vũ trụ này.

Lý do cho sự liên kết bị hạn chế một cách bất thường giữa thuật ngữ "giá trị mong đợi" và "giá trị trung bình" dường như mang tính lịch sử hơn là chính xác về mặt ngữ nghĩa, hoặc thậm chí là đặc biệt chung. Đó là, bối cảnh trong đó một giá trị dự kiến ​​được tính toán phù hợp với kỳ vọng về hành vi mô tả vị trí trong một tập dữ liệu được giới hạn ở chỉ một số phân phối dữ liệu nhất định chứ không phải các phân phối khác.

$f$ do đó, áp dụng có thể truy nguyên theo Ch Quashev 1887. Đó là điểm mạnh của định lý giới hạn trung tâm mà nó trở thành biểu thức chính xác để liên kết giá trị mong đợi với giá trị trung bình, trái ngược với thước đo tổng quát hơn về vị trí.

Nhưng những gì về phân phối dữ liệu không bình thường mà các biện pháp khác ổn định hơn và / hoặc đại diện hơn cho dữ liệu đó thì sao? Ví dụ: giá trị trung bình hoặc giá trị cực trị trung bình của dữ liệu từ phân phối đồng đều chính xác và ổn định hơn, nghĩa là chính xác và hội tụ nhanh hơn giá trị trung bình hoặc trung bình của phân phối đó. Đối với phân phối log-log thông thường, ví dụ: (phần lớn xử lý) dữ liệu thu nhập, chống log của giá trị trung bình của logarit của dữ liệu ( trung bình hình học AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$