Xác suất của một quá trình Poisson độc lập vượt qua một quá trình khác

Tôi đã hỏi câu hỏi này trước đây trong một thời trang khác trên các stackexchanges khác, rất xin lỗi vì đã hơi repost.

Tôi đã hỏi giáo sư của tôi và một vài sinh viên tiến sĩ về, mà không có câu trả lời dứt khoát. Trước tiên tôi sẽ nêu vấn đề, sau đó là giải pháp tiềm năng của tôi và vấn đề với giải pháp của tôi, rất xin lỗi vì bức tường văn bản.

Vấn đề:

Giả sử hai độc lập Poisson xử lý và , với và cho cùng một khoảng thời, tùy thuộc vào . Xác suất mà tại bất kỳ thời điểm nào, khi thời gian có xu hướng vô cùng, thì sản lượng tổng hợp của quá trình lớn hơn sản lượng tổng hợp của quá trình cộng với , tức là . Để minh họa bằng một ví dụ, giả sử hai cầu và , trung bình $M$ $R$ $\lambda_R$ $\lambda_M$ $\lambda_R>\lambda_M$ $M$ $R$ $D$ $P(M>R+D)$ $R$ $M$ và ô tô lái xe qua cầu và tương ứng cho mỗi khoảng thời gian, và . xe đã lái xe qua cầu , xác suất mà tại bất kỳ điểm nào trong thời gian hơn xe trong tổng số đã điều khiển qua cầu là những gì hơn . $\lambda_R$ $\lambda_M$ $R$ $M$ $\lambda_R>\lambda_M$ $D$ $R$ $M$ $R$

Cách giải quyết vấn đề này của tôi:

Đầu tiên, chúng tôi xác định hai quá trình Poisson:

M (I) \sim Poisson (μ_{M} \cdot I) R (I) \sim Poisson (μ_{R} \cdot I)

$M(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_M\cdot I ) \\ R(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_R\cdot I ) \\$

Bước tiếp theo là tìm một hàm mô tả sau một số khoảng nhất định . Điều này sẽ xảy ra trong trường hợp điều kiện trên đầu ra của , cho tất cả các giá trị không âm của . Để minh họa, nếu sản lượng tổng hợp của là sau đó sản lượng tổng hợp của cần phải được lớn hơn . Như hình dưới đây. $P(M>R+D)$ $I$ $M(I)>k+D$ $R(I)=k$ $k$ $R$ $X$ $M$ $X+D$

P (M (I)) > R (I) + D) = \sum_{k = 0}^{n} [P (M (I) > k + D \cup R (I) = k)]

$P(M(I))>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [P(M(I) >k+D\cup R(I)=k) \bigg]$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

Do tính độc lập, điều này có thể được viết lại dưới dạng sản phẩm của hai phần tử, trong đó phần tử đầu tiên là 1-CDF của bản phân phối Poisson và phần tử thứ hai là phần tử Poisson:

P (M (I) > R (I) + D) = \sum_{k = 0}^{n} [\underset{1 - Poisson CDF}{\underset{⏟}{P (M (I) > k + D)}} \cdot \underset{Poisson pmf}{\underset{⏟}{P (R (I) = k)}}]

$P(M(I)>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg]$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

Để tạo một ví dụ, giả sử , và , dưới đây là đồ thị của hàm trên : $D=6$ $\lambda_R=0.6$ $\lambda_M=0.4$ $I$

Bước tiếp theo là tìm xác suất xảy ra điều này tại bất kỳ thời điểm nào, cho phép cuộc gọi mà . Suy nghĩ của tôi là điều này tương đương với việc tìm kiếm 1 trừ khả năng không bao giờ là trên . Tức là chúng ta hãy tiếp cận vô cực gì là có điều kiện về vấn đề này cũng là đúng cho tất cả các giá trị trước đó của . $Q$ $M$ $R+D$ $N$ $P(R(N)+D \geq M(N))$ $N$

giống với , hãy xác định đó là hàm g (I): $P(R(I)+D \geq M(I))$ $1-P(M(I)>R(I)+D)$

g (I) = 1 - P (M (I) > R (I) + D)

$g(I)=1-P(M(I)>R(I)+D)$

Khi có xu hướng vô cùng, điều này cũng có thể được viết lại dưới dạng tích phân hình học trên hàm . $N$ $g(I)$

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (g (I)) d I)

$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln(g(I)) \: dI \bigg )$

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (1 - P (M (I) > R (I) + D)) d I)

$Q=1- \exp \bigg ( \int_0^N \ln(1-P(M(I)>R(I)+D)) \: dI \bigg )$

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$

$P(M(I)>R(I)+D)$

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (1 - \sum_{k = 0}^{n} [\underset{1 - Poisson CDF}{\underset{⏟}{P (M (I) > k + D)}} \cdot \underset{Poisson pmf}{\underset{⏟}{P (R (I) = k)}}]) d I)

$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln \bigg (1-\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg] \bigg ) \, dI \bigg )$

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

$Q$ $D$ $\lambda_R$ $\lambda_M$ $D=6$ $\lambda_R=0.6$ $\lambda_M=0.4$ $D=6$ $\lambda_R=0.06$ $\lambda_M=0.04$ $D=6$ $\lambda_R=0.6$ $\lambda_M=0.4$ $Q$ $0.5856116$ $D=6$ $\lambda_R=0.06$ $\lambda_M=0.04$ $Q$ $0.9998507$ $1-(1-0.5856116)^{10}=0.9998507$ $D=6$ $\lambda_R=0.06$ $\lambda_M=0.04$

$Q$ $0.04$ $0.06$ $0.4$ $0.6$ $1$ $1.5$ $0.4$ $0.6$ $0.04$ $0.06$

$Q$ $t$ $t$ $\lambda_M=0.4$ $\lambda_R=\lambda_M\cdot 1.5$

Đây là nơi tôi đang bị mắc kẹt, với tôi cách tiếp cận có vẻ tốt và đúng, nhưng kết quả rõ ràng là sai. Suy nghĩ ban đầu của tôi là tôi đang thiếu một quy mô lại cơ bản ở đâu đó, nhưng tôi không thể tìm ra cuộc sống của mình ở đâu.

Cảm ơn bạn đã đọc, bất kỳ và tất cả sự giúp đỡ được đánh giá rất cao.

Ngoài ra, nếu bất cứ ai muốn mã R của tôi xin vui lòng cho tôi biết và tôi sẽ tải nó lên.

poisson-distribution poisson-process

— không có nein
nguồn

Tôi đã thực hiện một số dọn dẹp khá rộng rãi mã MathJax của bạn. Nếu bạn xem bạn sẽ thấy một vài điều về cách sử dụng tiêu chuẩn và phù hợp. (Nhiều việc có thể được thực hiện; có thể sau này.)

— Michael Hardy

Tuyệt vời! Cảm ơn bạn rất nhiều, tôi đã không biết điều đó, có hướng dẫn cụ thể nào tôi nên làm theo không?

— không có nein

Tôi đã chỉnh sửa một số điều bổ sung phù hợp với những gì bạn đã làm.

— không có nein

@nonein Có một chút thiếu sót trong trợ giúp chỉnh sửa, nhưng ngoài đó còn có toán học. Hướng dẫn cơ bản về MathJax & tham khảo nhanh . Các hướng dẫn về cách viết toán học trong LaTeX (rất dễ google) thường giúp ích nếu bạn đang cố gắng tìm thứ gì đó không có trong tài liệu tham khảo nhanh ở đó (mặc dù hiện tại nó đã có một phạm vi bao quát khá đầy đủ về tập hợp con của MathJax).

— Glen_b -Reinstate Monica

$T = (0=t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots).$ $i\gt 0,$

B (i) = {\begin{matrix} + 1 & if R (t_{i}) = 1 \\ - 1 & if M (t_{i}) = 1 \end{matrix}

$B(i) = \left\{\matrix{+1 & \text{if } R(t_i)=1 \\ -1 & \text{if }M(t_i)=1}\right.$

$B(i)$ $W:$ $W(0)=0$ $W(i+1)=W(i)+B(i)$ $i \gt 0.$ $W(i)$ $R$ $M$ $t_i.$

$R$ $M$ $(t_i, W(i))$ $R(t_i)-M(t_i)$

$b=0, 1, 2, \ldots,$ $\mathcal{E}_b$ $W_i$ $-b$ $f(b)$

$f(D+1).$

$\lambda=\lambda_R+\lambda_M.$ $W$

Pr (B (i) = 1) = \frac{λ_{R}}{λ} and Pr (B (i) = - 1) = \frac{λ_{M}}{λ} .

$\Pr(B(i) = 1) = \frac{\lambda_R}{\lambda}\text{ and } \Pr(B(i)=-1) = \frac{\lambda_M}{\lambda}.$

Như vậy

$W$ $-D-1.$

Cách cơ bản nhất để tìm cơ hội này quan sát rằng

f (0) = 1

$f(0)=1$

$W(0)=0;$ $b \gt 0,$ $\pm 1$

f (b) = \frac{λ_{R}}{λ} f (b + 1) + \frac{λ_{M}}{λ} f (b - 1) .

$f(b) = \frac{\lambda_R}{\lambda} f(b+1) + \frac{\lambda_M}{\lambda} f(b-1).$

$\lambda_R \ge \lambda_M,$ $b\ge 0$

f (b) = {(\frac{λ_{M}}{λ_{R}})}^{b},

$f(b) = \left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^b,$

như bạn có thể kiểm tra bằng cách cắm cái này vào các phương trình xác định đã nói ở trên. Như vậy

$Pr (E_{D + 1}) = f (D + 1) = {(\frac{λ_{M}}{λ_{R}})}^{D + 1} .$ $\Pr(\mathcal{E}_{D+1})=f(D+1)=\left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^{D+1}.$

— whuber
nguồn