Khoảng dự đoán nhị thức nào hoạt động tốt cho xác suất đuôi, tức là cho lớn

Tôi đang làm việc về một vấn đề có những phẩm chất sau đây.

• Dữ liệu khả dụng rất nhiều - theo thứ tự$x$$10^6$
• CDF có hỗ trợ về các số thực không âm.$F_X$
• Tôi không biết .$F_X$
• Chúng ta có thể giả sử dữ liệu là iid.
• Tôi đang cố gắng ước tính xác suất một mẫu trong tương lai được rút ra từ giảm xuống dưới mức tối thiểu mẫu . Hơn nữa, tôi muốn giữ xác suất này dưới một giá trị cụ thể$F_X$$x_{(1)}$$\alpha.$

Khi một người quan tâm đến khoảng tin cậy , cách tiếp cận là chọn một số giá trị (vì có hỗ trợ không âm) và sử dụng , sau đó rút ra các khoảng tin cậy nhị thức đuôi trái bằng cách sử dụng bất kỳ một số tùy chọn nào, chẳng hạn như áp dụng CLT hoặc Casella hoặc Jeffreys hoặc Agresti's hoặc bất kỳ phương pháp nào khác.$k>0$$x$$\hat{F_X}(k)=\hat{p}=\frac{\#(x_i\le k)}{n}$

Điều này có vẻ dễ vỡ đối với lớn và nhỏ , đặc biệt vì . Hơn nữa, trong trường hợp của tôi, chúng tôi đang ước tính một khoảng dự đoán cho các quan sát trong tương lai. Có một khoảng dự đoán nhị thức hoạt động tốt trong những trường hợp này?$n$$k$$k=x_{(1)}$

Một cách tiếp cận Bayes sẽ ước tính trực tiếp và làm việc từ đó. Điều đó có vẻ khó hơn là rất cần thiết cho phạm vi hẹp của vấn đề này.$F$

Câu trả lời "Không, cuộc sống là không công bằng và không có giải pháp tốt cho vấn đề này" cũng hữu ích nếu có một trích dẫn hay để đi với nó.

Có một giới hạn dự đoán không đối xứng đơn giản. Hãy nhớ lại rằng giới hạn dự đoán là một quy trình bao gồm hai mẫu độc lập và , hai thống kê và và kích thước . Khi cơ hội nhỏ hơn là hoặc nhỏ hơn, chúng tôi nói rằng là giới hạn dự đoán thấp hơn một phía đối với có kích thước . PL trong câu hỏi sử dụng nhỏ nhất trong số$\mathcal{X}=x_1,\ldots, x_n$$\mathcal{Y}=y_1, \ldots, y_m$$t$$s$ $1-\alpha$$s(\mathcal{Y})$$t(\mathcal{X})$$\alpha$$t$$s$ $1-\alpha$$x_i$ cho . Dự định rằng tất cả các phải bằng hoặc vượt quá PL với xác suất cao. Tương đương, là nhỏ nhất trong tất cả các .$t(\mathcal{X})$$y_j$$s(\mathcal{Y})$$y_j$

PL này hoạt động khi các quan sát độc lập và phân phối giống hệt nhau và các quan sát bổ sung cũng iid và độc lập với các quan sát đầu tiên . Các giả định này ngụ ý tất cả các quan sát có thể trao đổi, do đó (dễ dàng) ngụ ý quan sát nhỏ nhất của tất cả chúng được tìm thấy trong số đầu tiên với xác suất ít nhất là . Kích thước là cơ hội mà một (ít nhất) của tất cả các quan sát được gắn cho các giá trị nhỏ nhất nằm trong giá trị của . Cơ hội này không nhỏ hơn . Khi phân phối cơ bản phổ biến là liên tục, nó chính xác$n$$m$$n$$n+m$$n$$n/(n+m)$$n$$\mathcal{X}$$n/(n+m)$$n/(n+m)$ .

Ví dụ: giá trị nhỏ nhất là giới hạn dự đoán thấp hơn cho giá trị bổ sung. Giá trị nhỏ nhất của chỉ là giới hạn dự đoán thấp hơn cho giá trị bổ sung.$n=95$$95\%$$m=5$$n=10^6$$50\%$$m=10^6$

Những cân nhắc tương tự (đòi hỏi sự tinh tế kết hợp nhiều hơn) được sử dụng để tính toán phạm vi của bất kỳ thống kê đơn hàng nào qua giới hạn dự đoán. Xem phần 5.4 của Hahn & Meeker để biết tóm tắt ("Khoảng dự đoán không phân phối để chứa ít nhất$k$ của $m$ những quan sát trong tương lai. ")

Tài liệu tham khảo

Gerald J. Hahn và William Q. Meeker, Khoảng thời gian thống kê, Hướng dẫn cho các học viên. J. Wiley & Sons, 1991.