Là 2SLS vừa được xác định là trung bình không thiên vị?

Trong Kinh tế lượng vô hại: Một người bạn đồng hành của người theo chủ nghĩa kinh nghiệm (Angrist và Pischke, 2009: trang 209) Tôi đọc những điều sau:

(...) Trên thực tế, 2SLS vừa được xác định (giả sử, công cụ ước tính Wald đơn giản) gần như không thiên vị . Điều này khó thể hiện chính thức vì 2SLS vừa được xác định không có khoảnh khắc (nghĩa là phân phối lấy mẫu có đuôi béo). Tuy nhiên, ngay cả với các công cụ yếu, 2SLS vừa được xác định là xấp xỉ trung tâm. Do đó, chúng tôi nói rằng 2SLS vừa được xác định là không thiên vị. (...)

Mặc dù các tác giả nói rằng 2SLS vừa được xác định là không thiên vị, nhưng họ không chứng minh và cũng không cung cấp tài liệu tham khảo cho một bằng chứng . Tại trang 213, họ đề cập đến đề xuất một lần nữa, nhưng không có tham chiếu đến một bằng chứng. Ngoài ra, tôi không thể tìm thấy động lực cho đề xuất trong ghi chú bài giảng của họ về các biến công cụ từ MIT , trang 22.

Lý do có thể là đề xuất này là sai vì họ từ chối nó trong một ghi chú trên blog của họ . Tuy nhiên, 2SLS vừa được xác định là xấp xỉ không thiên vị, họ viết. Họ thúc đẩy điều này bằng một thí nghiệm Monte-Carlo nhỏ, nhưng không cung cấp bằng chứng phân tích hoặc biểu thức dạng đóng của thuật ngữ lỗi liên quan đến phép tính gần đúng. Nhưng dù sao, đây là câu trả lời của các tác giả cho giáo sư Gary Solon của Đại học bang Michigan, người đã đưa ra nhận xét rằng 2SLS vừa được xác định không phải là không thiên vị.

Câu hỏi 1: Làm thế nào để bạn chứng minh rằng 2SLS vừa được xác định không phải là không thiên vị như Gary Solon lập luận?

Câu hỏi 2: Làm thế nào để bạn chứng minh rằng 2SLS vừa được xác định là xấp xỉ không thiên vị như Angrist và Pischke lập luận?

Đối với Câu hỏi 1 Tôi đang tìm kiếm một ví dụ mẫu. Đối với Câu hỏi 2 Tôi (chủ yếu) đang tìm kiếm một bằng chứng hoặc một tài liệu tham khảo cho một bằng chứng.

Tôi cũng đang tìm kiếm một định nghĩa chính thức về trung vị - không thiên vị trong bối cảnh này. Tôi hiểu các khái niệm như sau: Một ước lượng θ ( X 1 : n ) của θ dựa trên một số bộ X 1 : n của n biến ngẫu nhiên là trung bình-không thiên vị cho θ khi và chỉ khi sự phân bố của θ ( X 1 : n ) có trung bình θ .$\hat{\theta}(X_{1:n})$$\theta$$X_{1:n}$$n$$\theta$$\hat{\theta}(X_{1:n})$$\theta$

Ghi chú

1. Trong một mô hình vừa được xác định, số lượng hồi quy nội sinh bằng với số lượng dụng cụ.

2. Khung mô tả một mô hình biến công cụ vừa được xác định có thể được diễn tả như sau: Mô hình nhân quả của sự quan tâm và phương trình đầu tiên giai đoạn là

   $$\begin{cases} Y&=X\beta+W\gamma+u \\ X&=Z\delta+W\zeta+v \end{cases}\tag{1}$$ nơi là một k × n + 1 ma trận mô tả k hồi quy nội sinh, và nơi mà các biến công cụ được mô tả bởi một k × n + 1 ma trận Z . Dưới đây $X$$k\times n+1$$k$$k\times n+1$$Z$$W$chỉ mô tả một số biến điều khiển (ví dụ: được thêm vào để cải thiện độ chính xác); và và v là các điều khoản lỗi.$u$$v$

3. Chúng tôi ước tính trong ( 1 ) sử dụng 2SLS: Thứ nhất, thoái X vào Z kiểm soát cho W và có được các giá trị dự đoán X ; đây được gọi là giai đoạn đầu tiên Thứ hai, thoái Y trên X kiểm soát cho W ; đây được gọi là giai đoạn thứ hai. Hệ số ước tính trên X trong giai đoạn thứ hai là 2SLS chúng tôi ước tính của β .$\beta$$(1)$$X$$Z$$W$$\hat{X}$$Y$$\hat{X}$$W$$\hat{X}$$\beta$

4. Trong trường hợp đơn giản nhất chúng ta có mô hình và nhạc cụ các nội sinh regressor

   $$y_i=\alpha+\beta x_i+u_i$$ với z i . Trong trường hợp này, ước tính 2SLS của β là β 2SLS = s Z $x_i$$z_i$$\beta$nơisMộtBbiểu thị tương quan mẫu giữaAvàB. Chúng tôi có thể đơn giản hóa(2): β 2SLS=Σi(yi- ˉ y )z $$\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{s_{ZY}}{s_{ZX}}\tag{2},$$ $s_{AB}$$A$$B$$(2)$ trong đóˉy=∑iyi/n,ˉx=∑ixi/nvàˉu=∑iui/n, trong đónlà số lượng quan sát. $$\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}=\beta+\frac{\sum_i(u_i-\bar{u})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}\tag{3}$$ $\bar{y}=\sum_iy_i/n$$\bar{x}=\sum_i x_i/n$$\bar{u}=\sum_i u_i/n$$n$

5. Tôi đã thực hiện tìm kiếm tài liệu bằng cách sử dụng các từ "chỉ xác định" và "không thiên vị" để tìm tài liệu tham khảo trả lời Câu hỏi 1 và 2 (xem bên trên). Tôi không tìm thấy. Tất cả các bài báo tôi tìm thấy (xem bên dưới) đều đề cập đến Angrist và Pischke (2009: trang 209, 213) khi nói rằng 2SLS vừa được xác định là không thiên vị.

   • Jakiela, P., Miguel, E., & Te Velde, VL (2015). Bạn đã kiếm được nó: ước tính tác động của vốn con người đến sở thích xã hội. Kinh tế học thực nghiệm , 18 (3), 385-407.
   • An, W. (2015). Ước tính các biến công cụ của các hiệu ứng ngang hàng trong các mạng xã hội. Nghiên cứu khoa học xã hội , 50, 382-394.
   • Vermeulen, W., & Van Ommeren, J. (2009). Liệu quy hoạch sử dụng đất hình thành nền kinh tế khu vực? Một phân tích đồng thời về cung cấp nhà ở, di cư nội bộ và tăng trưởng việc làm địa phương ở Hà Lan. Tạp chí kinh tế nhà ở , 18 (4), 294-310.
   • Aidt, TS, & Leon, G. (2016). Cửa sổ cơ hội dân chủ: Bằng chứng từ các cuộc bạo loạn ở châu Phi cận Sahara. Tạp chí giải quyết xung đột , 60 (4), 694-717.

Trong các nghiên cứu mô phỏng thuật ngữ sai lệch trung vị đề cập đến giá trị tuyệt đối của độ lệch của công cụ ước tính so với giá trị thực của nó (mà bạn biết trong trường hợp này vì nó là mô phỏng nên bạn chọn giá trị thực). Bạn có thể thấy một bài viết của Young (2017) , người định nghĩa thiên vị trung vị như thế này trong bảng 15, hoặc Andrew và Armstrong (2016) , người vẽ đồ thị thiên vị trung vị cho các ước lượng khác nhau trong hình 2.

Một phần của sự nhầm lẫn (cũng trong tài liệu) dường như đến từ thực tế là có hai vấn đề tiềm ẩn riêng biệt:

1. dụng cụ yếu
2. nhiều (có khả năng) dụng cụ yếu

Vấn đề có một nhạc cụ yếu trong một thiết lập chỉ được xác định rất khác với việc có nhiều nhạc cụ trong đó một số nhạc cụ yếu, tuy nhiên, đôi khi hai vấn đề bị ném vào nhau.

$\kappa$

$M_Z = I-Z(Z'Z)^{-1}Z'$

$\kappa$$\kappa = 0$$\kappa = 1$$\kappa$$\det (X'X - \kappa X'M_ZX))=0$

Không có triệu chứng, LIML và 2SLS có cùng phân phối, tuy nhiên, trong các mẫu nhỏ, điều này có thể rất khác nhau. Điều này đặc biệt là trường hợp khi chúng ta có nhiều nhạc cụ và nếu một số trong số đó là yếu. Trong trường hợp này, LIML hoạt động tốt hơn 2SLS. LIML ở đây đã được chứng minh là không thiên vị. Kết quả này được đưa ra từ một loạt các nghiên cứu mô phỏng. Thông thường các bài báo nêu kết quả này đề cập đến "Các tính chất tiệm cận của một số công cụ ước tính trong các mô hình cấu trúc", Sawa (1972) , hoặc Anderson et al. (1982) .

Steve Pischke cung cấp một mô phỏng cho kết quả này trong các ghi chú năm 2016 của anh trên slide 17, cho thấy sự phân phối của OLS, LIML và 2SLS với 20 công cụ trong đó chỉ có một công cụ thực sự hữu ích. Giá trị hệ số thực là 1. Bạn thấy rằng LIML được căn giữa ở giá trị thực trong khi 2SLS bị lệch về OLS.

Bây giờ đối số dường như là như sau: cho rằng LIML có thể được hiển thị là không thiên vị trung bình và trong trường hợp vừa được xác định (một biến nội sinh, một công cụ) LIML và 2SLS là tương đương, 2SLS cũng phải là không trung vị.

Tuy nhiên, dường như mọi người lại trộn lẫn "trường hợp yếu" và trường hợp "nhiều nhạc cụ yếu" vì trong cài đặt vừa được xác định, cả LIML và 2SLS sẽ bị sai lệch khi nhạc cụ yếu. Tôi chưa thấy kết quả nào khi chứng minh rằng LIML không thiên vị trong trường hợp chỉ được xác định khi nhạc cụ yếu và tôi không nghĩ rằng điều này là đúng. Một kết luận tương tự được đưa ra từ Angrist và Pischke's (2009) câu trả lời cho Gary Solo ở trang 2 nơi họ mô phỏng sự thiên vị của OLS, 2SLS và LIML khi thay đổi độ mạnh của nhạc cụ.

Đối với các hệ số giai đoạn đầu rất nhỏ <0,1 (giữ lỗi tiêu chuẩn cố định), nghĩa là cường độ dụng cụ thấp, 2SLS vừa được xác định (và do đó LIML vừa được xác định) gần với giới hạn xác suất của công cụ ước tính OLS so với giá trị hệ số thực của 1.

Khi hệ số của giai đoạn đầu nằm trong khoảng từ 0,1 đến 0,2, họ lưu ý rằng thống kê F giai đoạn đầu là trên 10 và do đó không còn vấn đề về công cụ yếu nữa theo quy tắc ngón tay cái của F> 10 của Stock và Yogo (2005). Theo nghĩa này, tôi không thấy LIML được coi là cách khắc phục vấn đề về dụng cụ yếu trong trường hợp vừa được xác định. Cũng lưu ý rằng i) LIML có xu hướng phân tán nhiều hơn và nó yêu cầu sửa các lỗi tiêu chuẩn của nó (xem Bekker, 1994) và ii) nếu công cụ của bạn thực sự yếu, bạn sẽ không tìm thấy bất cứ điều gì trong giai đoạn thứ hai, không phải với 2SLS hay LIML bởi vì các lỗi tiêu chuẩn sẽ là quá lớn.