Tại sao tổng số tự động tương quan mẫu của một chuỗi văn phòng phẩm bằng -1/2?

8

Tôi không thể nắm bắt đầu của mình xung quanh tính chất này của loạt văn phòng phẩm và chức năng tự tương quan. Tôi phải chứng minh rằng

∑h=1n−1ρ^(h)=−12

Trong đó và là chức năng tự động điều khiểnγ(h)ρ^(h)=γ^(h)γ^(0)γ^(h)

γ^(h)=1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)

Hy vọng ai đó có thể giúp tôi bằng chứng, hoặc ít nhất là chỉ cho tôi đi đúng hướng.

time-series  autocorrelation  stationarity 
— Ernesto
nguồn
5
Gợi ý: bằng cách trừ một hằng số khỏi tất cả , sẽ không thay đổi , bạn có thể giả sử . Hình vuông đó và tìm kiếm các mảnh phù hợp với hai khoản tiền của bạn. γ ( h ) 0 = Σ n t = 1 X tXtγ^(h)0=∑t=1nXt
— whuber
Cảm ơn vi đa trả lơi. Tôi hiểu rằng việc trừ một hằng số không ảnh hưởng đến bất kỳ , nhưng tôi không hiểu tại sao nó cho phép tôi giả sử rằng tổng của chuỗi bằng 0.γ^(h)
— Ernesto
Trừ chính xác hằng số làm cho bằng 0. Bây giờ được đơn giản hóa (vì mới có nghĩa là 0) và các thuật ngữ dễ chơi hơn nhiều (nhưng không mất tính tổng quát). γ X t∑Xtγ^Xt
— Glen_b -Reinstate Monica
Có vẻ như nó phải là chứ không phải1 / n1/(n−h)1/n
— Alecos Papadopoulos
1
@AlecosPapadopoulos Tôi tin rằng cả hai phiên bản đều là công cụ ước tính hợp lệ của chức năng tự động điều khiển với các thuộc tính tiệm cận giống nhau nhưng tôi đọc ở đâu đó rằng ưu tiên . (Lý do là ma trận là bán xác định dương, tôi không phải là nhà toán học nên tôi thực sự không thể giải thích lý do này!)γ ( i - j )1/nγ^(i−j)
— Ernesto

Câu trả lời:

4

Hãy bắt đầu bằng cách biểu diễn tổng bằng cách sử dụng định nghĩa của hàm tự tương quan:S

S=∑h=1n−1ρ^(h)=∑h=1n−1(1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)1n∑t=1n(Xt−X¯)2)

Mẫu số không phụ thuộc vào nên chúng ta có thể đơn giản hóa và di chuyển mặt trước sang tử số, điều này cho chúng ta: ∑ S = ∑ n - 1 h = 1 ∑ n - h t = 1 ( X t - ˉ X ) ( X t + h - ˉ X )h∑

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)∑t=1n(Xt−X¯)2

Bây giờ hãy xem xét mẫu số. Làm thế nào để chúng ta biểu diễn để chúng ta có được một biểu thức tương tự như tử số? Đặt . Sau đóMẫu số ở đây là . Chúng tôi biết rằng , tức là trừ tất cả các cặp duy nhất 2. Vì , nó theo đó .Yt=Xt−X¯∑ n t = 1 Y 2 t ∑ n t = 1 Y 2 t = ( ∑ n t = 1 Y t ) 2 - 2 ∑ n - 1 h = 1 ∑ n - h t = 1 Y∑t=1nYt=0.∑t=1nYt2 × ∑ n t = 1 Y t = 0 ∑ n t = 1 Y 2 t = - 2 ∑ n - 1 h = 1 ∑ n - h t = 1 Y t Y t + h∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h×∑t=1nYt=0∑t=1nYt2=−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h

Cắm lại theo X, mẫu số trở thành . Sau đó,−2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)−2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)=−12

Hi vọng điêu nay co ich!

— Dilly Minch
nguồn
Cảm ơn rất nhiều, tôi sẽ chấp nhận câu trả lời này ngay lập tức, tôi chỉ có một câu hỏi cuối cùng. Mọi thứ đều rõ ràng với tôi ngoại trừ phần này: . Tôi không hiểu làm thế nào chúng ta có thể bao gồm tổng kết kép ở đây, tôi cho rằng đó là một tài sản hoặc danh tính của tổng kết? ∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h
— Ernesto
3
Để thấy điều này, hãy thử mở rộng . Bạn nhận được tổng , sau đó các điều khoản còn lại thuộc loại cho , mỗi điều khoản xảy ra hai lần trong quá trình mở rộng do tính đối xứng. Bây giờ, tổng kết kép xuất phát từ việc liệt kê các cặp này theo cách sau: Đối với , chúng tôi đếm , v.v. Đối với , chúng tôi đếm , v.v., cho đến khi chúng tôi đạt được cho cặp cuối cùng . Y 2 t Y i Y j i ≠ j Y 1 Y(∑t=1nYt)2Yt2YiYji≠jY1Y 2 Y 3 , Y 4 Y n - 1 Y n - 1 Y nY2,Y3Y2Y3,Y4Yn−1Yn−1Yn
— Dilly Minch
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookie và Chính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.