Chứng minh Bernoulli là giới hạn của Beta

Tôi kiểm tra rõ ràng rằng nếu chúng tôi sửa (từ đó sửa giá trị trung bình) và để , bản phân phối Beta tiếp cận Bernoulli ( ) phân phối.$\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$$\alpha \rightarrow 0$$\mu$

Ví dụ:

par(mfrow = c(1, 2),
    oma = c(0, 0, 1.5, 0))
xx = seq(0, 1, length.out = 1000)
mus = c(.2, .7)
for (ii in 1:2) {
  mu = mus[ii]
  matplot(xx, sapply(10^(-1:-5), function(al) 
    pbeta(xx, al, (1-mu)/mu * al)),
    type = 'l', lty = ii,
    main = paste('Mean:', mu),
    ylab = 'Cumulative Probability', xlab = 'x')
}
title('Beta Approaches Bernoulli', outer = TRUE)

Đó là, nếu , CDF , thỏa mãn$X \sim B(\alpha, \frac{1-\mu}{\mu} \alpha)$$F_X(x; \alpha, \mu)$

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0} F_X(x; \alpha, \mu) = 1 - \mu = F_Y(x) \quad \forall x \in (0, 1)$$

Trong đó Bernoulli ( ) và sự hội tụ không đồng nhất. Tôi đã cố gắng làm một bằng chứng chính thức hơn về điều này nhưng không thể đạt được bất kỳ tiến triển nào, ngay cả trong những trường hợp đơn giản (như ). Các trang Wikipedia trên Beta làm tham chiếu đến trường hợp nhiều lần mà không cần bằng chứng. Có lẽ tôi đang thiếu một cái gì đó dễ dàng khi thực hiện tích phân hoặc một số thực tế về chức năng Beta / chưa hoàn thành. Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao!$Y \sim$$\mu$$\mu = \frac12$$\mu = \frac12$

Việc phân tích có thể hơi lộn xộn, đặc biệt nếu được thực hiện với sự nghiêm ngặt đầy đủ và cơ bản, nhưng ý tưởng rất đơn giản và dễ dàng nắm bắt. Tập trung vào các vùng nhỏ rất gần với và . Khi và tiếp cận , gần như tất cả xác suất phân phối Beta sẽ nằm trong các khu vực này. Bằng cách thu nhỏ kích thước của các khu vực, chúng tôi thấy rằng phân phối giới hạn nếu tồn tại chỉ có thể là phân phối Bernoulli. Chúng tôi chỉ có thể tạo phân phối giới hạn bằng cách đặt tỷ lệ tiếp cận không đổi, chính xác như được mô tả trong câu hỏi.$0$$1$$\alpha$$\beta$$0$$(\alpha,\beta)$$\alpha:\beta$

Điều thú vị về phân tích này là việc xem xét các khu vực tương đối làm giảm mọi nhu cầu xem xét hành vi của hằng số chuẩn hóa, hàm . Đây là một sự đơn giản hóa đáng kể. (Việc tránh chức năng Beta của nó tương tự như phân tích của tôi về các lượng tử phân phối Beta tại Do hai lượng tử phân phối beta xác định các tham số của nó? )$B(\alpha,\beta)$

Một tính năng nữa của phân tích này là xấp xỉ hàm Beta chưa hoàn thành bằng các tích phân đơn giản có dạng cho các hằng số . Điều này làm giảm mọi thứ đối với các phép toán cơ bản nhất của bất đẳng thức và đại số.$\int t^c\mathrm{d}t$$c\gt -1$

---

Beta PDF tỷ lệ thuận vớiXem xét nhỏ và kiểm tra các đóng góp cho khu vực dưới trong ba khoảng , và dưới dạng và phát triển nhỏ (nhưng vẫn tích cực).

$$f(x)=x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}.$$ $\epsilon\gt 0$$f$$(0,\epsilon]$$(\epsilon, 1-\epsilon)$$[1-\epsilon, 1)$$\alpha$$\beta$

Cuối cùng, cả và đều sẽ nhỏ hơn : do đó sẽ có các cực ở cả và , trông như thế này:$\alpha$$\beta$$1$$f$$0$$1$

Đồ thị của là đường màu xanh phía trên. So với nó là các đồ thị của (đường cong màu đỏ, với cực chỉ ở ) và (đường cong vàng, với cực chỉ ở ) .$f$$x^{\alpha-1}$$0$$(1-x)^{\beta-1}$$1$

Điều gì xảy ra với ba khu vực dưới , liên quan đến nhau, trong giới hạn?$f$

Là một vấn đề về ký hiệu, hãy viết cho khu vực dưới đồ thị trong khoảng từ đến . Tôi đang hỏi về kích thước tương đối của , và .

$$F(x) = \int_0^x f(t)\mathrm{d}t = \int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t$$ $f$$0$$x$$F(\epsilon)$$F(1-\epsilon)-F(\epsilon)$$F(1)-F(1-\epsilon)$

Chúng ta hãy ước tính từng khu vực một, luôn giả sử và và . Theo những giả định này$0 \lt \alpha \lt 1$$0\lt \beta \lt 1,$ $0\lt x \lt 1,$$0\lt \epsilon \lt 1/2$

$$x^{\alpha-1} \gt 1;\quad(1-x)^{\beta-1}\gt 1,$$

$x\to x^{\alpha-1}$ (màu đỏ) là hàm giảm trong và (vàng) là hàm tăng. $x,$$x\to (1-x)^{\beta-1}$

1. Ở bên trái, có vẻ như các đường cong màu xanh và đỏ gần nhau. Thật vậy, với , các bất đẳng thức đã nói ở trên mang lại giới hạnViệc tích hợp từng khoảng từ đến rất đơn giản và siết chặt giữa hai giới hạn gần,$0\lt x \lt \epsilon$

   $$x^{\alpha-1} \lt x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \lt x^{\alpha-1}(1-\epsilon)^{\beta-1}.$$ $0$$\epsilon$$F(\epsilon)$ $$\frac{\epsilon^\alpha}{\alpha} \lt F(\epsilon) \lt (1-\epsilon)^{\beta-1} \frac{\epsilon^\alpha}{\alpha}.\tag{1}$$

2. Phân tích tương tự áp dụng cho phía bên tay phải, mang lại một kết quả tương tự.

3. Vì là lõm, nên trong khoảng giữa nó đạt được các giá trị cực trị của nó tại các điểm cuối. Do đó, diện tích nhỏ hơn diện tích của hình thang được kéo dài bởi các điểm đó:$f$$[\epsilon, 1-\epsilon]$

   $$\eqalign{ F(1-\epsilon) - F(\epsilon) &\lt \frac{1}{2}\left(f(\epsilon) + f(1-\epsilon)\right)(1-\epsilon - \epsilon)\\ &= \frac{1-2\epsilon}{2}\left(\epsilon^{\alpha-1}(1-\epsilon)^{\beta-1} + (1-\epsilon)^{\alpha-1}\epsilon^{\beta-1}\right)).\tag{2} }$$

Mặc dù điều này có nguy cơ gây rối, hãy tạm thời khắc phục và xem xét điều gì xảy ra với tỷ lệ khi tiếp cận và . Trong biểu thức và , cả và sẽ tiếp cận . Vì vậy, các điều khoản duy nhất quan trọng trong giới hạn là$\epsilon$$(F(1-\epsilon)-F(\epsilon)):F(\epsilon)$$\alpha$$\beta$$0$$(1)$$(2)$$(1-\epsilon)^{\alpha-1}$$(1-\epsilon)^{\beta-1}$$(1-\epsilon)^0=1$

$$\frac{F(1-\epsilon)-F(\epsilon)}{F(\epsilon)} \approx \frac{(\epsilon^{\alpha-1} + \epsilon^{\beta-1})/2}{\epsilon^\alpha / \alpha} = \frac{\alpha}{2\epsilon} + \frac{\alpha}{2\epsilon^{\alpha-\beta}} \approx \frac{\alpha}{\epsilon}\tag{3}$$

bởi vì . Do đó, kể từ , cuối cùng khu vực giữa không có giá trị so với khu vực bên trái.$\alpha-\beta \approx 0$$\alpha\to 0$

Lập luận tương tự cho thấy rằng cuối cùng, khu vực giữa gần với với khu vực bên phải, điều này cũng trở nên không quan trọng. Điêu nay cho thây răng$\beta/\epsilon$

$(*)$ Không có vấn đề gì có thể được, nếu chúng ta mất cả và là đủ nhỏ, sau đó về cơ bản tất cả diện tích dưới được tập trung trong khoảng thời gian bên trái và khoảng thời gian đúng .$0\lt \epsilon\lt 1/2$ $\alpha$$\beta$$f$$(0,\epsilon)$$(1-\epsilon, 1)$

Phần còn lại rất dễ dàng: giá trị trung bình sẽ rất gần với khu vực gần cực bên phải (bằng chứng: đánh giá thấp nó bằng cách thay bằng trong các tích phân trên các khoảng trái và giữa và bởi trong khoảng bên phải, sau đó đánh giá quá cao nó bằng cách thay bằng ở bên trái, ở giữa và tại bên phải. Cả hai biểu thức gần đúng .) Nhưng, bởi các khu vực tương đối xấp xỉ$xf(x)$$0f(x)$$(1-\epsilon)f(x)$$xf(x)$$\epsilon f(x)$$(1-\epsilon)f(x)$$f(x)$$F(1)-F(1-\epsilon)$$(3),$

$$\frac{F(1)-F(1-\epsilon)}{F(\epsilon)} \approx \frac{\epsilon/\beta}{\epsilon/\alpha} = \frac{\alpha}{\beta}.$$

Bằng cách giữ giá trị trung bình không đổi, tỷ lệ này không đổi, cho phép chúng tôi thêm một quan sát nữa vào :$(*)$

$(**)$ Nếu chúng ta để và theo cách sao cho tiếp cận một hằng số giới hạn , thì cuối cùng tỷ lệ của khu vực bên phải khu vực tại bên trái cũng sẽ tùy ý gần với .$\alpha\to 0$$\beta\to 0$$\alpha/\beta$$\lambda$$\lambda$

Bây giờ hãy suy ngẫm thu nhỏ về không. Kết quả là phân phối giới hạn tồn tại và nó phải có tất cả xác suất tập trung xung quanh các giá trị và : đây là lớp phân phối Bernoulli. ghim xuống cái nào: vì phân phối Bernoulli , có giá trị trung bình là gán xác suất cho và xác suất thành , tỷ lệ phải là tỷ lệ giới hạn$\epsilon$$0$$1$$(**)$$(p)$$p,$$p$$1$$1-p$$0$$p/(1-p)$$\lambda.$

Trong thuật ngữ của câu hỏi,

$$\lambda = \alpha / \left(\frac{1-\mu}{\mu}\alpha\right) = \frac{\mu}{1-\mu} = \frac{p}{1-p},$$

như đã tuyên bố.