Nếu là văn phòng phẩm, nhất thiết phải đứng yên không?

Tôi đã bắt gặp một bằng chứng cho một trong các thuộc tính của mô hình ARCH nói rằng nếu , thì là văn phòng phẩm iff \ sum_ {i = 1} ^ pb_i <1 trong đó mô hình ARCH là:$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Ý tưởng chính của chứng minh là chỉ ra rằng $X_t^2$ có thể được viết dưới dạng quy trình AR (p) và nếu $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ là đúng, thì tất cả các gốc của đa thức đặc trưng nằm ngoài đơn vị khoanh tròn và do đó $\{X_t^2\}$ là văn phòng phẩm. Sau đó nó nói rằng do đó $\{X_t\}$ là văn phòng phẩm. Làm thế nào điều này theo sau?

Từ phần được cung cấp, tôi hiểu làm thế nào bạn có thể thấy rằng sự ổn định của $X^2_t$ ngụ ý sự ổn định của $X_t$ nhưng thực ra nó chỉ ngụ ý một phương sai không đổi của $X_t$ .

Các tác giả của bằng chứng đó đã sử dụng văn phòng phẩm của $X^2_t$ để hoàn thành một cuộc tranh luận mà họ đã bắt đầu trước đó bằng cách xem xét các khoảnh khắc vô điều kiện của $X_t$

Nhắc lại các điều kiện cố định thứ tự $2^{nd}$ :

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Điều kiện 1 đã được chứng minh bởi$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

Điều kiện 3 đã được chứng minh bằng$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Nhưng để chứng minh điều kiện thứ hai, họ cần chứng minh phương sai vô điều kiện liên tục của$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

Đây là những gì dẫn đến một giả định về sự ổn định của mà bạn đã đề cập sử dụng mẫu . Tóm lại: Nếu X ^ 2_t đứng yên thì gốc của đa thức sẽ nằm ngoài vòng tròn đơn vị và Điều này làm cho nó có thể để viết: A R ( p ) V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( V a r ( u t | F t - $X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$