Nếu tôi chứng minh công cụ ước tính của

Để cho $X_i$ là một biến ngẫu nhiên iid có pdf $f(\mathbf{x}|\theta)$, Ở đâu $E(X_i) = 6\theta^2$và $\theta > 0$.

Tôi đã tính toán một công cụ ước tính cho tham số ($\theta$) của $f(\mathbf{x}|\theta)$ được $\hat{\theta} = \sqrt{\bar{x}/6}$. Để chứng minh rằng đây là một công cụ ước tính không thiên vị, tôi nên chứng minh rằng$E(\hat{\theta}) = E\left(\sqrt{\bar{x}/6}\right)$. Tuy nhiên, kể từ$\hat{\theta}^2 = \bar{x}/6$, nó sẽ dễ dàng hơn nhiều để chỉ ra rằng

Nói chung, chứng minh $x^2 =4$ không giống như chứng minh $x=2$, từ $x$ cũng có thể $-2$. Tuy nhiên, trong trường hợp này$\theta>0$.

Tôi đã chỉ ra rằng $\hat{\theta}^2$ không thiên vị, điều này có đủ để cho thấy rằng $\hat{\theta}$ không thiên vị?

Nói không thiên vị cho , tức là , sau đó vì bất đẳng thức của Jensen,$Q$$\theta^2$$E(Q) = \theta^2$

Vì vậy, là thiên vị cao, tức là nó sẽ đánh giá quá cao trung bình .$\sqrt{Q}$$\theta$

Lưu ý : Đây là một bất đẳng thức nghiêm ngặt (nghĩa là không ) vì không phải là biến ngẫu nhiên suy biến và căn bậc hai không phải là phép biến đổi affine.$<$$\leq$$Q$

Lưu ý rằng đối với bất kỳ công cụ ước tính nào (với giây thứ hai hữu hạn) mà với đẳng thức chỉ khi (dễ kiểm tra không giữ).$E(\widehat{\theta^2}) - E(\hat\theta)^2$ $=$ $\text{Var}(\hat\theta)\geq 0$$\text{Var}(\hat\theta)=0$

Thay thế thuật ngữ đầu tiên trên LHS về sự bất bình đẳng đó bằng cách sử dụng kết quả của bạn cho tính không thiên vị của , và sau đó bằng cách sử dụng thực tế rằng và đều tích cực, hiển thị là thiên vị, không thiên vị như bạn nghĩ. (Nói chung, bạn có thể áp dụng bất đẳng thức của Jensen nhưng không cần thiết ở đây)$\widehat{\theta^2}$$\theta$$\hat \theta$$\hat \theta$

Lưu ý rằng bằng chứng này không liên quan đến các chi tiết của vấn đề của bạn - đối với công cụ ước tính không âm của tham số không âm, nếu bình phương của nó không thiên vị cho bình phương của tham số, thì chính công cụ ước tính phải bị sai lệch trừ khi phương sai của công cụ ước tính là .$0$