Có bất kỳ câu hỏi xác suất dường như đơn giản mà thực sự khó hiểu?

Có bất kỳ ví dụ tốt về một vấn đề xác suất có vẻ đơn giản, mà thực sự là khó hiểu?

Tôi đang cố gắng thúc đẩy việc sử dụng mô phỏng, và muốn đi kèm với một ví dụ về khi cần thiết có thể truy cập được. Hy vọng là một cái gì đó như:

"Theo trực giác, có vẻ như đủ dễ để mô hình số lượng con át còn lại sau một ván bài xì phé, nhưng do $x$ , $y$ và $z$ , điều này thực sự không khả thi để tính toán phân tích ".

Nhưng tôi đang vật lộn để tìm một ví dụ tốt / đơn giản.

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

probability simulation probabilistic-programming

— Søren Emil Schmidt
nguồn

Câu hỏi này có vẻ khá rộng, mơ hồ và chủ quan: "Đơn giản" theo nghĩa nào? "Có thể truy cập" cho ai? Chính xác thì "tính toán phân tích" nghĩa là gì? Điều gì tạo nên một ví dụ "tốt"? Chính xác thì "khó khả thi" đến mức nào? Chẳng hạn, nếu tồn tại xấp xỉ 100 chữ số thập phân, nhưng không tồn tại công thức đóng chính xác về mặt lý thuyết, điều đó có "khả thi" hay không?

— whuber

Tôi không có tài liệu tham khảo ngoài lề, nhưng hồi ức của tôi là Mark Kac đã nghĩ đến Monte Carlo vì anh ta quan tâm đến việc tìm kiếm xác suất chiến thắng một trò chơi solitaire khi đưa ra một bộ bài cụ thể. Giải pháp là, ít nhất là với anh ta, tổ hợp khó chữa. Tôi không có nghĩa là câu cuối cùng trong bất kỳ ý nghĩa xúc phạm. Tôi chỉ không biết liệu trong 50 năm nữa hay không, có ai đó đã giải quyết vấn đề đó một cách phân tích.

— meh

Cảm ơn bạn đã làm rõ. Tôi vẫn thấy tiêu chí của bạn "một sinh viên có một số kiến thức về xác suất sẽ nghĩ theo trực giác là" dạng đóng có thể giải quyết được ", trong khi thực tế, nó không thể chấp nhận được" chủ quan. Nó làm cho câu hỏi của bạn một về kiến thức, đào tạo và quá trình suy nghĩ của sinh viên giả thuyết hơn là một về xác suất. Chắc chắn bạn có thể tìm thấy những cách dễ dàng truy cập để thúc đẩy mô phỏng. Chẳng hạn, nếu khán giả của bạn biết cách chơi trò chơi Monopoly, hãy hỏi họ về việc tìm cơ hội chiến thắng nếu họ bám sát chiến lược này và đối thủ của họ với chiến lược khác.

— whuber

Chắc chắn, câu trả lời kinh điển "hiển nhiên" là để tính toán

P (Z \leq z)

$\mathbb{P}(Z \leq z)$ Ở đâu

Z

$Z$ là tiêu chuẩn bình thường. Nhưng, như ám chỉ @whuber tới, trong khi nó đáp ứng tiêu chí đã nêu của bạn đến một "t" trong đó có một thực tế rằng nó là có thể chứng minh "khó" (theo nghĩa chính xác mà không gian nhận xét này là quá nhỏ để chứa), nó không làm theo mà mô phỏng (so với xấp xỉ bằng số) là câu trả lời. :-) Một câu trả lời nghiêm túc hơn một chút là tính toán các hàm phân vùng, đã tạo ra rất nhiều nghiên cứu về phương pháp mô phỏng trong những năm qua.

— Đức hồng y

Nghịch lý Bertrand có vẻ như là một ứng cử viên tốt; nó thường được trích dẫn như một ví dụ về lý do tại sao đại số sigma là chìa khóa để xác định xác suất. Tùy thuộc vào cách các sinh viên tiến hành mô phỏng, họ sẽ thu được các kết quả khác nhau. Không có câu trả lời duy nhất trừ khi ý nghĩa của "được chọn ngẫu nhiên" được chỉ định.

— Sycorax nói phục hồi Monica

Câu trả lời:

Chức năng sinh tồn $S_{t}$ là một số lượng quan tâm trong nhiều loại (hầu hết?) phân tích lịch sử sự kiện. Nó thường được ước tính, và 'đường cong sinh tồn' mô tả $S_{t}$ so với thời gian thường được sử dụng để so sánh xác suất tích lũy của các sự kiện giữa các nhóm khác nhau. Các so sánh thống kê thường được tạo điều kiện thuận lợi bằng cách suy luận những thứ như các bài kiểm tra giả thuyết và khoảng tin cậy.

Tôi và một vài nhà thống kê đã đấu tranh với một số cách tiếp cận khác nhau để đưa ra một ước lượng phân tích tiệm cận của phương sai mẫu của hàm tồn tại ( $\sigma^{2}_{\hat{S}_{t}}$ ) Trong thời gian mô hình lịch sử sự kiện rời rạc ( a la logit nguy hiểm, nguy hiểm probit vv mô hình), đó sẽ là hữu ích để kiểm tra giả thuyết xây dựng và khoảng tin cậy.

Nó chỉ ra rằng, một cách tốt nhất tôi được biết-rằng trong khi nó có thể và phổ biến để ước lượng phương sai tiệm cận của các khoản tiền của các biến ngẫu nhiên (như giá trị trung bình mẫu), phương sai tiệm cận của các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên là một wicket dính khó khăn để ước tính .

{\hat{S}}_{t} = \prod_{i = 1}^{t} 1 - {\hat{h}}_{i}

$\hat{S}_{t} = \prod^{t}_{i=1}{1-\hat{h}_{i}}$

Ở đâu $\hat{h}_{t}$ là chức năng nguy hiểm thời gian riêng biệt tại thời điểm $t$ .

Chúng tôi đã ít nhiều từ bỏ một công cụ ước tính tiệm cận về phương sai của con chó con đó và tuyên bố rằng các kỹ thuật số như bootstrapping dường như là cược tốt nhất của chúng tôi.

— Alexis
nguồn

Bạn đã có 5 biến và bạn đang thực hiện phân tích "đa biến". Bạn giả định tính quy tắc đa biến và tận hưởng một bộ dữ liệu hoàn chỉnh. Sau đó, ước tính khả năng tối đa của ma trận trung bình và hiệp phương sai là dạng đóng và dễ tính toán .

Đợi đã, bạn không muốn nhận sự bình thường chung. Bạn có nghĩa là giả định rằng, bên lề, mỗi biến của bạn tuân theo phân phối beta. Không có gì to tát. Phải có một sự tương tự đa biến của phân phối beta với cấu trúc tương quan tùy ý , phải không? Chà, bạn có thể có thể xây dựng một cái gì đó , nhưng tôi sẽ gọi nó là "khó hiểu" cho mức độ kiên nhẫn của tôi. Dưới đây là một bài đăng trên reddit từ một người đang cố gắng tìm ra điều gì đó tương tự mà không gặp nhiều may mắn.

— Ben Ogorek
nguồn

Một vấn đề xác suất đơn giản có thể gây ra có thể là vấn đề sau đây đối với một cuộc đua ngựa.

Nếu người huấn luyện ngựa có tỷ lệ thắng 25% và người đua có tỷ lệ thắng 10% và con ngựa có tỷ lệ thắng 40% thì xác suất thành công của con ngựa trong cuộc đua ngày nay là gì?

Huấn luyện viên đã huấn luyện ngựa để có tỷ lệ thành công 40% nhưng liệu tỷ lệ có giảm trong các cuộc đua trong tương lai xuống còn 25%? Người đua sẽ có cơ hội tốt hơn 15%, và bao nhiêu, trên một con ngựa giành được 40% thời gian và một huấn luyện viên giành được 25% thời gian?

— robert
nguồn