Là trung bình của ma trận xác định dương cũng xác định dương?

Là trung bình của nhiều ma trận xác định dương xác định nhất thiết phải là xác định dương xác định hay bán xác định dương? Trung bình là yếu tố trung bình khôn ngoan.

Vâng, đúng vậy. jth asnwer là chính xác (+1) nhưng tôi nghĩ bạn có thể nhận được một lời giải thích đơn giản hơn nhiều chỉ với Đại số tuyến tính cơ bản.

Giả sử và là các ma trận xác định dương cho kích thước . Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là với tất cả , và . Điều này có nghĩa là hoặc tương đương là . I E. phải xác định dương.$A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$$(A+B)$

Tất nhiên. Tập hợp các ma trận xác định dương tạo thành một hình nón , có nghĩa là nó được đóng dưới các kết hợp tuyến tính và tỷ lệ dương.